Potenzreihenentwicklung

13.01.2015, 19:54

mahack

Potenzreihenentwicklung

Hallo, ich hoffe ich finde hier jemanden, der mir bei folgendem Problem helfen kann:

Zur Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[3]{27+x^{3} } } \end{eqnarray*}$ sollen die ersten drei Glieder der Potenzreihenentwicklung, sowie der Konvergenzradius angegeben werden.

Da ich aber aus der angegeben Summe nicht einfach die dritte Wurzel ziehen darf und die Funktion wahrscheinlich auf eine bekannte Reihe zurückgeführt wird(?), habe ich keine Ahnung wie ich das Problem am besten angehe, auch wenn es wahrscheinlich irgendetwas damit zu tun haben wird, dass die dritte Wurzel aus 27 gleich 3 ist?

Den Konvergenzradius kann ich über das Quotientenkriterium lösen, das Problem liegt momentan wirklich nur am Finden der ais...

Dass die Lösung des Problems relativ simpel sein wird ist mir bekannt, leider bin ich nicht allzu fit in diesem Thema.

Viele Grüße und vielen Dank schonmal!

13.01.2015, 20:47

HAL 9000

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Nutze die binomische Reihe $\begin{align*} (1+t)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} t^k \end{align*}$ , im vorliegenden Fall mit $\begin{align*} \alpha=-\frac{1}{3} \end{align*}$ und nach vorher passender Umformung deines Terms.

14.01.2015, 15:39

mahack

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Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Ist das der einzige Weg? Ohne Binomialkoeffizienten geht das nicht? Ich wüsste nicht dass der für die vorstehende Prüfung(ohne Hilfsmittel) verlangt wäre, deswegen wundert mich das.

Mit dieser Reihe würde ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \sum\limits_{k=0}^\infty \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ k \end{pmatrix} \left(\frac{x^{3k}}{27^{k} } \right) \end{eqnarray*}$ kommen.

Danach wäre dann die Fakultätsformel des Binomialkoeffizienten zu verwenden und die (1/27^k) in diese hineinzumultiplizieren? Dann bleibt mir immer noch das Problem mit der 3 in $\begin{eqnarray*} x^{3k} \end{eqnarray*}$ , die doch für das Berechnen des Konvergenzradius dort nicht bleiben darf?

14.01.2015, 20:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von mahack
Danach wäre dann die Fakultätsformel des Binomialkoeffizienten zu verwenden

Nein, die nicht - sondern die allgemeinere

$\begin{align*} \binom{\alpha}{k} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdot \ldots \cdot (\alpha-k+1)}{k!} \end{align*}$ ,

gültig für beliebige $\begin{align*} \alpha\in\mathbb{R},k\in\mathbb{N} \end{align*}$ .

Zitat:

Original von mahack
Ich wüsste nicht dass der für die vorstehende Prüfung(ohne Hilfsmittel) verlangt wäre, deswegen wundert mich das.

Du kannst auch gern diese Taylorreihe auf Tippeltappeltour mit Ableitungen usw. ermitteln - am Ende dieses längeren Weges steht aber dieselbe Reihe.

Zitat:

Original von mahack
Dann bleibt mir immer noch das Problem mit der 3 in $\begin{eqnarray*} x^{3k} \end{eqnarray*}$ , die doch für das Berechnen des Konvergenzradius dort nicht bleiben darf?

Das lässt sich so umgehen:

Besitzt Potenzreihe $\begin{align*} g(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_kz^k \end{align*}$ den Konvergenzradius $\begin{align*} R \end{align*}$ , so hat die Potenzreihe $\begin{align*} f(x) = g(x^m) = \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^{mk} \end{align*}$ den Konvergenzradius $\begin{align*} \sqrt[m]{R} \end{align*}$ - eine einfache Überlegung.

20.01.2015, 21:09

mahack

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Vielen Dank schonmal für die hilfreichen Antworten!
Nachdem ich es mit der Binomischen Reihe nicht hinbekomme, habe das Problem wie folgt gelöst:

Umformung:

$\begin{eqnarray*} \frac { 1 }{ \sqrt [ 3 ]{ 27(1+\frac { { x }^{ 3 } }{ 27 } ) } } \quad =\quad \sqrt [ 3 ]{ \frac { 1 }{ 27(1+\frac { { x }^{ 3 } }{ 27 } ) } } \end{eqnarray*}$

In geometrische Reihe:

$\begin{eqnarray*} \frac { 1 }{ 3 } \sqrt [ 3 ]{ \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { \left( \frac { { x }^{ 3 } }{ 27 } \right) }^{ n } } } \end{eqnarray*}$

Die ersten drei Koeffizienten bestimmen:

$\begin{eqnarray*} { a }_{ 0 }\quad =\quad \frac { 1 }{ 3 } \sqrt [ 3 ]{ { \left( \frac { 1 }{ 27 } \right) }^{ 0 } } =\frac { 1 }{ 3 } \\ { a }_{ 1 }\quad =\quad \frac { 1 }{ 9 } \\ { a }_{ 2 }\quad =\quad \frac { 1 }{ 27 } \end{eqnarray*}$

Kann man es so lösen oder hab ich da einen Fehler drin?

-----

Außerdem würde mich die Lösung mit der Binomialreihe auch interessieren aber ich komme einfach nicht auf die Koeffizienten, mein Ansatz klappt so nicht (letzter Stand ist in vorherigem Kommentar)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \begin{pmatrix} a \\ n \end{pmatrix} { x }^{ n }\quad =\quad \frac { 1 }{ 3 } \quad \cdot \quad \left( 1+a{ x }^{ 1 }+\frac { a\left( a-1 \right) }{ 2 } { x }^{ 2 }+\frac { a\left( a-1 \right) (a-2) }{ 3! } { x }^{ 3 }+\quad ...\quad +\quad \frac { a\left( a-1 \right) (a-2)...(a-n+1) }{ n! } { x }^{ n } \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \begin{pmatrix} a \\ n \end{pmatrix} { x }^{ n } =\quad \frac { 1 }{ 3 } \quad \cdot \quad \left( 1\quad -\quad \frac { 1 }{ 3 } x\quad +\quad \frac { 4 }{ 18 } { x }^{ 2 }\quad -\quad \frac { 27 }{ 28 } { x }^{ 3 }\quad +\quad ... \right) \end{eqnarray*}$

Damit komm ich aber auf andere Koeffizienten (weil ich das x^3 damit nicht eliminiere?):

$\begin{eqnarray*} { a }_{ 0 }\quad =\quad \frac { 1 }{ 3 } \quad \cdot \quad 1\quad =\quad \frac { 1 }{ 3 } \\ { a }_{ 1 }\quad =\quad \frac { 1 }{ 3 } \quad \cdot \quad \left( -\frac { 1 }{ 3 } \right) \quad =\quad -\frac { 1 }{ 9 } \\ { a }_{ 2 }\quad =\quad \frac { 1 }{ 3 } \quad \cdot \quad \left( \frac { \frac { 1 }{ 3 } \left( -\frac { 1 }{ 3 } -1 \right) }{ 2 } \right) \quad =\quad \frac { 4 }{ 54 } \quad =\quad \frac { 2 }{ 27 } \\ { a }_{ 3 }\quad =\quad \frac { 1 }{ 3 } \quad \cdot \quad \left( \frac { \frac { 1 }{ 3 } \left( -\frac { 1 }{ 3 } -1 \right) \left( -\frac { 1 }{ 3 } -2 \right) }{ 3! } \right) \quad =\quad \frac { 28 }{ 6\cdot 27 } \quad =\quad \frac { 28 }{ 162 } \end{eqnarray*}$

01.02.2015, 02:08

mahack

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Meine Lösung war falsch, ich habe nicht bedacht dass ich aus der Reihe ja nicht einfach die einzelnen Summanden rausziehen darf unter der Wurzel...

Wie komme ich per Binomialreihe auf die Lösung? ich bekomme doch durch die Substitution nur die Koeffizienten für die Ordnung x^3.. die darf ich doch auch nicht einfach durch die dritte Wurzel auf x und x^2 etc. bringen oder?

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