Beweis Beziehungen kompl. Zahlen die 2.

13.01.2015, 19:18

Rivago

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Beweis Beziehungen kompl. Zahlen die 2.

Beweisen Sie unter Verwendung der algebr./kart. Form die folgenden Beziehungen. Es sind dabei $\begin{eqnarray*} w, x, y, z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

Aufgabe c)

$\begin{eqnarray*} \overline{x \cdot y} = \bar{x} \cdot \bar{y} \end{eqnarray*}$

Meine Überlegungen:

$\begin{eqnarray*} \bar{x} = a - bi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bar{y} = c - di \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{x \cdot y} = \overline{(a + bi) \cdot (c + di)} = (a - bi) \cdot (c - di) = ac - adi - cbi + bdi² = (ac - bd) - (-ad - cb)i \end{eqnarray*}$

Haut das erstmal bis dahin hin? Irgendwie kommts mir komisch vor..

13.01.2015, 19:42

Mathema

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RE: Beweis Beziehungen kompl. Zahlen die 2.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \overline{x \cdot y} = \overline{(a + bi) \cdot (c + di)} = (a - bi) \cdot (c - di) = \end{eqnarray*}$

Hatten wir das nicht schon? Wieso soll das beim Produkt anders dein? Erst das Produkt bilden, dann die konjugierte Zahl. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.01.2015, 19:47

Rivago

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RE: Beweis Beziehungen kompl. Zahlen die 2.
$\begin{eqnarray*} \overline{x \cdot y} = \overline{(a + bi) \cdot (c + di)} = \overline{(ac - bd) + (ad + bc)i} = (ac - bd) - (ad + bc)i \end{eqnarray*}$

So vllt?

13.01.2015, 19:48

Mathema

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Das sieht doch schon besser aus. Nun weg mit den Klammern.

13.01.2015, 19:50

Rivago

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RE: Beweis Beziehungen kompl. Zahlen die 2.
$\begin{eqnarray*} \overline{x \cdot y} = \overline{(a + bi) \cdot (c + di)} = \overline{(ac - bd) + (ad + bc)i} = (ac - bd) - (ad + bc)i = ac - bd - adi - bci \end{eqnarray*}$

13.01.2015, 19:52

Mathema

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Wunderbar. Jetzt hängst du mal an das $\begin{eqnarray*} bd \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} i^2 \end{eqnarray*}$ ran und sortierst mal etwas.

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13.01.2015, 19:55

Rivago

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Sorry, aber das kann ich jetzt schon wieder nicht nachvollziehen..

$\begin{eqnarray*} z_1 \cdot z_2 = (a + bi) \cdot (c + di) = ac + adi + cbi + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc)i \end{eqnarray*}$

So steht es in meinem Skript und ich komm durch ausmultiplizieren da ja auch drauf. Das i² ist ja -1.

Warum soll ich das denn jetzt wieder dranhängen? unglücklich

unglücklich

13.01.2015, 20:01

Mathema

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Damit wir $\begin{eqnarray*} bi \end{eqnarray*}$ ausklammern können, wenn du entsprechend sortiert hast. Aus den anderen beiden Summanden klammerst du denn mal das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aus.

13.01.2015, 20:07

Rivago

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Aber ich kann das doch nicht einfach wieder dran hängen unglücklich

unglücklich

Ich versteh den Mist leider wirklich überhaupt nicht traurig

traurig

Glaub ich lass es bleiben. Danke für deine Mühe.

13.01.2015, 20:09

Mathema

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Jetzt nicht aufgeben - wir sind doch gleich fertig!

Natürlich kannst du das nicht einfach so dranhängen. Was musst du aber einfach ändern, wenn du das machst?

13.01.2015, 20:18

Rivago

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RE: Beweis Beziehungen kompl. Zahlen die 2.
Wenn ich das wüsste..

$\begin{eqnarray*} \overline{x \cdot y} = \overline{(a + bi) \cdot (c + di)} = \overline{ac + adi + cbi + bdi²} = \overline{ac + adi + cbi - bd (hier-"fliegt"-das-i²-ja-raus)} = \overline{(ac - bd) + (ad + bc)i} = (ac - bd) - (ad + bc)i = ac - bd - adi - bci \end{eqnarray*}$

Und jetzt hab ich wirklich keine Ahnung, was ich da jetzt machen soll. Warum und wie man i² wieder dran hängt, kein Plan.

13.01.2015, 20:22

Mathema

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Du hast richtig festgestellt, dass folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} i^2=-1 \end{eqnarray*}$

Wenn du nun an das Produkt $\begin{eqnarray*} -bd \end{eqnarray*}$ den Faktor $\begin{eqnarray*} i^2 \end{eqnarray*}$ "dranhängst", also mit -1 multiplizierst, und du möchtest den Wert des Produktes nicht ändern, wie bekommen wir das denn hin?

13.01.2015, 20:23

Rivago

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Alles mit -1 multiplizieren?

13.01.2015, 20:25

Mathema

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Ja - $\begin{eqnarray*} i^2 \end{eqnarray*}$ ist doch -1. Was ändert sich also nur, wenn wir mit -1 multiplizieren?

13.01.2015, 20:30

Rivago

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Alle Vorzeichen der anderen Produkte.

13.01.2015, 20:34

Mathema

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Nun - da wir nur ein Produkt multiplizieren, ändert sich natürlich auch nur ein Vorzeichen. Also:

$\begin{eqnarray*} \overline{x \cdot y} = \overline{(a + bi) \cdot (c + di)} = \overline{(ac - bd) + (ad + bc)i} = (ac - bd) - (ad + bc)i = ac - bd - adi - bci \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =ac+bdi^2-adi-bci =ac-adi-bci+bdi^2 \end{eqnarray*}$

Nun ausklammern.

13.01.2015, 20:41

Rivago

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$\begin{eqnarray*} \overline{x \cdot y} = \overline{(a + bi) \cdot (c + di)} = \overline{(ac - bd) + (ad + bc)i} = (ac - bd) - (ad + bc)i = ac - bd - adi - bci \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =ac+bdi^2-adi-bci =ac-adi-bci+bdi^2 = ac - (ad - bc + bdi)i \end{eqnarray*}$

13.01.2015, 20:43

Mathema

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Nein - nicht das i.

Aus deinen ersten beiden Summanden das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und aus den letzten beiden $\begin{eqnarray*} -bi \end{eqnarray*}$ .

13.01.2015, 20:50

Rivago

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Achso..

$\begin{eqnarray*} =ac+bdi^2-adi-bci =ac-adi-bci+bdi^2 = a (c - di) - bi (c + di) \end{eqnarray*}$

13.01.2015, 20:52

Mathema

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Ein Vorzeichenfehler in der letzten Klammer musst du noch verbessern.

13.01.2015, 20:56

Rivago

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Stimmt

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} =ac+bdi^2-adi-bci =ac-adi-bci+bdi^2 = a (c - di) - bi (c - di) = (c - di) (a - bi) \end{eqnarray*}$

Trotzdem versteh ich die Vorgehensweise leider immer noch nicht unglücklich

unglücklich

13.01.2015, 20:57

Mathema

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Jetzt klammere doch mal die Klammer aus. Was steht denn da?

edit: Aha - jetzt noch deine Faktoren vertauschen - und fertig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.01.2015, 20:58

Rivago

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Hab es gerade noch editiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ok, jetzt erscheint es mir logisch. Aber wie um Himmels Willen soll man auf sowas kommen traurig

traurig

13.01.2015, 21:02

Mathema

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Naja - Übung macht den Meister.

Als Tipp: Du kannst ja auch mal hinten anfangen, und da ausmultiplizieren, um zu sehen, wo man überhaupt hin muss.

Den Anfang hast du doch auch super alleine hinbekommen!

Wink

Wink

13.01.2015, 21:04

Rivago

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Ich hoffe dass bessert sich, sonst seh ich schwarz.

Aber ehrlich gesagt weiß ich auch gar nicht, ob ich das wirklich schon nach einer einzigen Mathe-Vorlesung können muss verwirrt

verwirrt

13.01.2015, 21:07

Mathema

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Das wird schon!

Also doch Uni - ich hatte mich schon etwas gewundert, dass du dieses hier im Schulbereich gepostet hast.

13.01.2015, 21:10

Rivago

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Ich wusste nicht so richtig, in welchen Bereich ich das posten soll und hab mich dann halt mal für Schulmathematik-Algebra entschieden.

Bei Hochschulmathematik-Algebra passt es aber wohl besser, was? Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.01.2015, 21:15

Mathema

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Nun ja - ist wohl so eine Übergangsaufgabe.

Ich komme aus Schleswig-Holstein, und hier gibt es keinen LK mehr. Dementsprechend sind die Komplexen Zahlen auch nicht mehr Thema in der Oberstufe. Das mag in anderen Bundesländern vielleicht anders aussehen.

Und Beweise sind dann wohl auch mit am anspruchsvollsten, was die Schulmathematik zu bieten hat.

13.01.2015, 21:20

Rivago

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Okay.. naja ich werde es demnächst woanders posten Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke nochmal für deine Hilfe smile

smile

13.01.2015, 21:21

Mathema

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Gern geschehen!

Viel Erfolg und vor allem Spaß weiterhin im Studium.

Wink

Wink

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