Beweis: E[(X-\mu)g(X)] = \sigma^2E[g'(X)]

13.01.2015, 21:09	Lalala1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: E[(X-\mu)g(X)] = \sigma^2E[g'(X)] Edit (mY+): In Themen-Überschriften funktioniert LaTeX nicht. Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} X~N(\mu, \sigma^2) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \mu \in \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma > 0 \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass für jede stetig differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray} g:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} E[(X-\mu)g(X)] = \sigma^2E[g'(X)] \end{eqnarray}$ , falls beide Erwartungswerte existieren. Meine Ideen: Hallo, meine Idee dazu ist: Mit Hilfe der Transformationsformel gilt: $\begin{eqnarray} E[(X-\mu)g(X)] = \int_{-\infty }^{\infty } \! (x-\mu)g(x)\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2} }e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \, dx= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2} }\int_{-\infty }^{\infty } \! (x-\mu)g(x)e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \, dx \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma^2E[g'(X)]= \sigma^2\int_{-\infty }^{\infty } \! g'(x)\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2} }e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \, dx = \frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi\sigma^2} }\int_{-\infty }^{\infty } \! g'(x)e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \, dx = <br /> ...partielle Integration...=\frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi\sigma^2} }[e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }g(x)]_{-\infty}^{\infty}+\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2} }\int_{-\infty }^{\infty } \! (x-\mu)g(x)e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \, dx \end{eqnarray}$ So jetzt habe ich mir überlegt, dass $\begin{eqnarray} \frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi\sigma^2} }[e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }g(x)]_{-\infty}^{\infty} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\rightarrow +\infty und -\infty \end{eqnarray}$ gegen 0 streben würde, wenn g(x) beschränkt wäre und dann würde dass ja das gleiche wie $\begin{eqnarray} E[(X-\mu)g(X)] \end{eqnarray}$ sein. So jetzt meine Frage, ob das ganze so überhaupt stimmt? und wenn ja kann man irgendwie argumentieren, dass g(x) beschränkt ist? Vielen Dank für jede Antwort!!

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