Beweis, dass Funktion surjektiv (Problem mit Definitionsmenge)

13.01.2015, 22:16

SanDo

Beweis, dass Funktion surjektiv (Problem mit Definitionsmenge)

Meine Frage:
Frage ist: Ist die Funktion f:Z->Z, f(x)=2x-3 surjektiv?

Meine Ideen:
Hätte es so gemacht;

$\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Z $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Z : f(x) = y

Def.: Z(odd) ist die Menge aller geraden zahlen

Sei: y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Z(odd)\0 . Wähle x= y+3/2. x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Z

f(x) = y
f(y+3/2) = y
2y+3/2 - 3 = y
y=y

Sicher bin ich mir nicht bei:
ich schränke ja die Menge von y ein ( mit Z(odd)\0) damit x element von Z ist)
in der angabe steht aber von f:Z->Z.
also ich weiß nicht ob der schritt richtig/sinnvoll ist.

edit: fehler ausgebessert

13.01.2015, 22:31

Helferlein

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RE: Beweis das Funktion surjektiv (Problem mit Definitions Menge)

Zitat:

Original von SanDo
... Wähle x= y+3/2. x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Z ...

Ist das miteinander vereinbar, wenn $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ?

13.01.2015, 22:36

URL

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RE: Beweis das Funktion surjektiv (Problem mit Definitions Menge)
Wobei man über diese Wahl von y ohnehin nochmal nachdenken sollte Augenzwinkern

13.01.2015, 22:39

SanDo

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wenn y Element von Z ist leider nicht.

darum dreht sich auch meine (sicher wirre) frage.

wenn in der angabe steht y ist element Z (bzw. die f:Z->Z) )
darf ich dann wenn ich den beweis mache die Definitionsmenge einschränken?

hab ich versucht mit y Element von Z(odd)\0.
also die geraden ganzen zahlen ohne die null.

13.01.2015, 22:44

Helferlein

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Surjektivität bedeutet doch gerade, dass jedes Element der Zielmenge auch wirklich im Bildraum ist. Sollte dies schon durch eine Teilmenge des Definitionsbereichs erfüllt sein, bist Du natürlich fertig. Die Einschränkung der Zielmenge bedeutet jedoch einen unzulässigen Eingriff in die Aufgabenstellung.

13.01.2015, 22:44

SanDo

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RE: Beweis das Funktion surjektiv (Problem mit Definitions Menge)

Zitat:

Original von URL
Wobei man über diese Wahl von y ohnehin nochmal nachdenken sollte Augenzwinkern

könntest du bitte genauer sagen wie das gemeint ist.
mach gerade meine erste mathe-vorlesung und ich seh ohnehin grade den wald vor lauter bäumen nicht verwirrt

edit: okey ich glaub ich weiß jetzt was gemeint war

13.01.2015, 22:51

SanDo

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Zitat:

Original von Helferlein
Surjektivität bedeutet doch gerade, dass jedes Element der Zielmenge auch wirklich im Bildraum ist. Sollte dies schon durch eine Teilmenge des Definitionsbereichs erfüllt sein, bist Du natürlich fertig. Die Einschränkung der Zielmenge bedeutet jedoch einen unzulässigen Eingriff in die Aufgabenstellung.

wenn ich es dann so mache:

Sei: y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Z . Wähle x= (y+3)/2. x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Z

dann stimmt aber für jedes gerade y und für jedes y=0, x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Z nicht.

ich nehme an, dass ich die ausgangsmenge (also die wo x herkommt) auch nicht ändern darf.
also muss ich x anders wählen, richtig?

13.01.2015, 23:09

Helferlein

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Vielleicht ist es Zeit für ein einfaches Beispiel.
Die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\rightarrow\{1\}, x\rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ ist surjektiv, denn es ist z.B. f(1)=1. Es spielt hier also überhaupt keine Rolle, ob ich ganz R oder eine endliche Definitionsmenge annehme. Entscheidend ist lediglich, dass ich irgendein Element im Definitionsbereich habe, dass auf die 1 abgebildet wird.
Betrachte ich hingegen die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\rightarrow\{1,2\}, x\rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ , dann ist sie schon nicht mehr surjektiv, da ich im gesamten Definitionsbereich kein Element finde, dass auf die 2 abgebildet wird.

13.01.2015, 23:11

SanDo

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ah okey, ...

es gibt also anscheinend nicht für jedes y ein x, das heißt f ist nicht surjektiv.

muss also nur ein gegenbeispiel suchen.

13.01.2015, 23:30

SanDo

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Zitat:

Original von Helferlein
Vielleicht ist es Zeit für ein einfaches Beispiel.
Die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\rightarrow\{1\}, x\rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ ist surjektiv, denn es ist z.B. f(1)=1. Es spielt hier also überhaupt keine Rolle, ob ich ganz R oder eine endliche Definitionsmenge annehme. Entscheidend ist lediglich, dass ich irgendein Element im Definitionsbereich habe, dass auf die 1 abgebildet wird.
Betrachte ich hingegen die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\rightarrow\{1,2\}, x\rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ , dann ist sie schon nicht mehr surjektiv, da ich im gesamten Definitionsbereich kein Element finde, dass auf die 2 abgebildet wird.

erstmal vielen Dank!! hast mir sehr geholfen Freude

noch eine frage zu deinem beispiel: Die Funktion bildet von R nach 1 bzw 1,2 ab.
aber wie funktioniert hier die "transformation" (weiß nicht wie das richtig heißt).

bei meinen beispiel geht die "transformation" mit y=2x+3

was du damit zeigen wolltest ist mir aber klar =)

mein beispiel hab ich jetzt so gelöst:

wähle y=2 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Z

f(x) = 2
2x-3 =2
x=5/2 nicht $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Z

daher nicht surjektiv

13.01.2015, 23:37

Helferlein

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Ich kann nur vermuten, was Du mit Transformation meinst.
Wären in deinem Beispiel Definitions- und Zielbereich ganz R, so wäre die Funktion umkehrbar mit der von Dir ja auch schon genannten Gleichung $\begin{eqnarray*} x=\frac{y+3}2 \end{eqnarray*}$ . Da meine Funktion aber nur dann umkehrbar ist, wenn ich die Definitionsmenge auf eine einelementige Menge beschränke, ist der Begriff der Umkehrung hier recht sinnfrei.

EDIT: Deine Antwort auf die eigentliche Fragestellung ist korrekt.

13.01.2015, 23:46

SanDo

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weiß jetzt auch nicht wie ich das anders erklären soll, aber das ergibt sich die nächsten tage vielleicht eh von selbst, hab nämlich noch ein dickes skript vor mir..

danke dir auf jeden fall für die unterstützung und wünsche einen schönen abend =)

14.01.2015, 00:22

URL

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Schreibt man übrigens f(x)=2x-3=2(x-1)-1 sieht man sofort, dass f(x) nur ungerade sein kann.

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