Normalverteilung invers, rückwärts

14.01.2015, 08:37

mersdusud

Normalverteilung invers, rückwärts

Meine Frage:
Liebe Experten!

Ich habe eine Frage zu Wahrscheinlichkeiten:

Das soziale Netzwerk ?Tritter? verzeichnete im Dezember 2013 in Österreich 97340 NutzeriInnen, wobei 58404 Accounts aktiv waren. Zur statistischen Erhebung eines Online-Magazins sollen 10000 aktive NutzerInnen befragt werden.Wie viele aller österreichischen NutzerInnen müssen ausgewählt werden, damit man mit 99%iger Wahrscheinlichkeit mindestens 10000 aktive Accounts auswählt.

Bitte um eure Hilfe.

Danke, Philipp .. mehr auf http://w-w-w.ms/a5h6cl

Meine Ideen:
Mein Ansatz:
Ich weiß dass es sich hierbei eigentlich um eine Hypergeometrische Verteilung handelt, die jedoch mit einer Normalverteilung approximiert werden kann. X=1000, %=0,99, ich glaube man braucht das n. Nur mit invnorm muss man doch sigma und mü haben oder? Das habe ich doch ohne n nicht.

14.01.2015, 08:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von mersdusud
Nur mit invnorm muss man doch sigma und mü haben oder? Das habe ich doch ohne n nicht.

Als $\begin{align*} \mu \end{align*}$ nimmst du den Erwartungswert und als $\begin{align*} \sigma^2 \end{align*}$ die Varianz deiner hypergeometrischen Verteilung, beide in Abhängigkeit des zunächst noch unbekannten $\begin{align*} n \end{align*}$ - und damit wird dann gerechnet.

14.01.2015, 08:50

mersudusud

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Also:
¼ = n*p = n*0,6
Ã²= n*p*q = n*0,24

p=0,6, weil 58404:97340 = 0,6 => q=0,4

Und dann? Ich kenne nur die invnorm-Funktion am Taschenrechner, da muss man aber die Daten folgendermaßen eingeben: invnorm(%, ¼, Ã) => x

Ich kann aber da nicht statt Ã n*0,24 eingeben?

14.01.2015, 08:52

mersdusud

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1/4 sollte mü heißen
Ä = Sigma

14.01.2015, 13:10

HAL 9000

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Nicht ganz: Du hast die Parameter der Binomialverteilung genommen, es geht hier aber eigentlich um die hypergeometrische Verteilung - hast du ja selbst oben richtig erkannt! Für den Erwartungswert macht das keinen Unterschied, es ist da

$\begin{align*} \mu = n\frac{M}{N} = np \end{align*}$

Bei der Varianz ist das aber anders, da gilt

$\begin{align*} \sigma^2 = n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\frac{N-n}{N-1} = npq{\color{red}\frac{N-n}{N-1}} \end{align*}$

diesen letzten rot markierten Faktor hast du vergessen - bei der hier betrachteten Größenordnung der Daten ist der durchaus nicht vernachlässigbar. unglücklich

Ok, wie geht's weiter? Wir haben also approximativ bei $\begin{align*} n \end{align*}$ befragten Personen diese näherungsweise $\begin{align*} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{align*}$ -verteilte Zufallsgröße $\begin{align*} X \end{align*}$ an Leuten, die einen aktiven Account haben. Wir fordern

$\begin{align*} 0.99 = P(X \geq 10000) = 1-P(X\leq 9999) \approx 1-\Phi\left( \frac{9999.5-\mu}{\sigma} \right) \end{align*}$

Inverse gebildet mit den Standardnormalverteilungsquantilen $\begin{align*} z_{\alpha} \end{align*}$ führt auf

$\begin{align*} \frac{9999.5-\mu}{\sigma} = z_{0.01} = -z_{0.99} \approx -2.326 \end{align*}$

Nun sind die Formeln für $\begin{align*} \mu,\sigma \end{align*}$ da einzusetzen, es entsteht eine anfangs ziemlich kompliziert aussehende Gleichung für $\begin{align*} n \end{align*}$ , die nach einigen Umformungen aber in eine quadratische Gleichung mündet, die man auflösen kann.

14.01.2015, 17:00

mersdusud

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Also das bedeutet, ich habe danach mehrere Gleichungen:

-2,326 = (9999,5 - mü) : sigma
mü = n * 0,6
sigma² = n*0,6*0,4*(N-n) unglücklich

N-1)

Hierbei habe ich doch eigentlich nur 3 Gleichungen bei 4 Unbekannten.

Aber ich schätz mal, das kleine n ist dann 10.000 oder?
Nur wird das mü dann nicht mit dem großen N (Gesamtanzahl) gebildet?

14.01.2015, 17:11

HAL 9000

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Herrje, es ist nur EINE Unbekannte, nämlich $\begin{align*} n \end{align*}$ . Die anderen Werte $\begin{align*} N,M \end{align*}$ sind doch bekannt! Also wenn du zu faul zum Einsetzen bist, mach ich das auch noch:

$\begin{align*} \frac{9999.5-n\frac{M}{N}}{\sqrt{n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}}} = -z_{0.99} \end{align*}$ .

Wir halten zunächst fest (für später), dass wegen der Negativität der rechten Seite dann auch $\begin{align*} 9999.5-n\frac{M}{N} < 0 \end{align*}$ , also $\begin{align*} n > 9999.5\cdot \frac{N}{M} \end{align*}$ gelten muss. Jetzt können wir quadrieren, und den Nenner auf die andere Seite bringen:

$\begin{align*} \left( 9999.5-n\frac{M}{N} \right)^2 = z_{0.99}^2\left( n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\frac{N-n}{N-1} \right) \end{align*}$ .

Ausmultipliziert ist dies jetzt die bereits oben erwähnte quadratische Gleichung in $\begin{align*} n \end{align*}$ - du kannst natürlich gern schon die bekannten Werte $\begin{align*} N=97340,M=58404,z_{0.99}=2.326 \end{align*}$ einsetzen, wenn dir die vielen Symbole Unbehagen bereiten.

14.01.2015, 17:31

mersdusud

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Hatte mit dem N einen Denkfehler, jetzt ist alles klar.

Danke

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