Standardisierte Summen einer Poisson- und Exponentialverteilung

14.01.2015, 11:45

icetea01

Standardisierte Summen einer Poisson- und Exponentialverteilung

Hallo, ich stehe bei der folgenden Aufgabe komplett auf der Leitung (siehe Anhang).

Den Zentralen Grenzwertsatz hab ich mir angeschaut. Was die Poisson- und Exponentialverteilung ist, ist mir soweit auch klar. Jetzt weiß ich nicht, welche Werte ich wo einsetzen muss. Die Formel für standardisierte Summen ist ja angegeben. Aber was ist in dem Fall mein Xn (ich hab ja in dem Fall nur eine Zufallsvariable, und das ist einmal Lambda = 3, und lambda=1/10)? Wie muss ich bei dem Beispiel generell vorgehen?

Vielen Dank schon Mal im Voraus!

14.01.2015, 15:07

Huggy

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RE: standardisierte Summen einer Poisson- und Exponentialverteilung

Zitat:

Original von icetea01
Aber was ist in dem Fall mein Xn (ich hab ja in dem Fall nur eine Zufallsvariable, und das ist einmal Lambda = 3, und lambda=1/10)? Wie muss ich bei dem Beispiel generell vorgehen?

$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist keine Zufallsvariable, sondern der Parameter einer Verteilungsfunktion.

Bei a) hast du eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die poissonverteilt ist mit Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sollst du nun $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Realisationen herstellen. Du brauchst also einen Zufallszahlengenerator, der dir für einen gegebenen Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ poissonverteilte Zufallszahlen erzeugt. Und mit dem erzeugst du $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ solcher Zufallszahlen.

$\begin{eqnarray*} \overline X_n \end{eqnarray*}$ ist der Mittelwert dieser $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Zufallszahlen. Mittels dieses Mittelwertes berechnest du $\begin{eqnarray*} U_n \end{eqnarray*}$ gemäß gegebener Formel. Das machst du $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mal. Dann hast du $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ Werte $\begin{eqnarray*} U_n \end{eqnarray*}$ . Die kannst du z. B. als Histogramm in einen Plot der Standardnormalverteilung einzeichnen.

Bei b) geht es analog. Nur ist jetzt $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ exponentialverteilt und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ hat einen anderen Wert.

14.01.2015, 16:35

icetea01

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RE: standardisierte Summen einer Poisson- und Exponentialverteilung

Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

ah, ja mein Fehler, natürlich ist nur der Parameter angegeben.

Und wie funktioniert dieser Zufallsgenerator? Das ist eben das was ich überhaupt nicht verstehe. Wie werden diese Zufallszahlen erzeugt?

14.01.2015, 17:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von icetea01
Und wie funktioniert dieser Zufallsgenerator? Das ist eben das was ich überhaupt nicht verstehe. Wie werden diese Zufallszahlen erzeugt?

Eigentlich ist das eine Aufgabe, die auf derlei Kenntnissen über die Simulation von Verteilungen aufbaut. Hast du soviel versäumt? Dann recherchiere mal ein wenig - manche CAS stellen die Simulation von derlei Standardverteilungen direkt bereit. Wir können hier schließlich nicht die ganze Vorlesung wiederholen.

14.01.2015, 19:18

Huggy

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RE: standardisierte Summen einer Poisson- und Exponentialverteilung
Eine Möglichkeit zur Erzeugung solcher Zufallszahlen ist hier beschrieben:

http://de.wikipedia.org/wiki/Inversionsm...r_Zufallszahlen

17.01.2015, 15:48

icetea01

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von icetea01
Und wie funktioniert dieser Zufallsgenerator? Das ist eben das was ich überhaupt nicht verstehe. Wie werden diese Zufallszahlen erzeugt?

Ja, ich hatte einiges versäumt. Ich habs schlussendlich mit Excel gemacht, ist zwar mühsam bei 100 000 Zufallszahlen, aber es funktioniert. Poisson-verteilge Zufallszahlen kann man direkt erzeugen, bei der Exponentialverteilung muss mans mit der Inversionsmethode machen.

@Huggy: Danke, hat mir geholfen!

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