Vollständigkeitsaxiom, Dedekindsches Schnittaxiom

14.01.2015, 13:21	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständigkeitsaxiom, Dedekindsches Schnittaxiom Sei K ein angeordneter Körper indem das Dedekindsche Schnittaxiom gilt. Zeige in K gilt das archimedische Axiom und das Vollständigkeitsaxiom. Hallo 1) Vollständigkeitsaxiom: Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von K besitzt ein Supremum. Sei $\begin{eqnarray} A\not=\emptyset \end{eqnarray}$ eine nach oben beschränkte Menge. Die Menge ihrer oberen Schranken sei $\begin{eqnarray} B=\{y \in K\|\forall x \in A: x< y\} \end{eqnarray}$ Nach den Dedekinsche Schnittaxiom: $\begin{eqnarray} \exists s\in K : x\le s \le y \forall x\in A, \forall y \in B \end{eqnarray}$ D.h. s ist eine obere Schranke von A. Bleibt zuzeigen, dass s die kleinste obere Schranke von A ist. Angenommen $\begin{eqnarray} l<s \end{eqnarray}$ und obere Schranke von A, d.h. $\begin{eqnarray} l\ge x \forall x\in A \end{eqnarray}$ . Wie erreiche ich einen Widerspruch? 2) Archimedisches Axiom: Zu je zwei reellen Zahlen mit a>0 existiert eine natürliche Zahl n mit $\begin{eqnarray} na>y \end{eqnarray}$ Das haben wir aber schon in der Vorlesung bewiesen, wenn das Vollständigkeitsaxiom gilt. Soll man das direkt aus des Dedekindschen Schnittaxiom beweisen? Geht das überhaupt ohne den Beweis von 1) zu verwenden??

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