Ungleichung mit Betrag lösen

14.01.2015, 14:22

Angel86

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Ungleichung mit Betrag lösen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich bin gerade am verzweifeln. Ich versuche gerade die Inhalte eines Bachelor Studiengangs aufzusaugen, da der Master (für den ich mich beworben habe darauf aufbaut). Leider hatte ich im Bachelor kein Mathe und das Abi ist auch schon eine Weile her Augenzwinkern

Augenzwinkern

Daher nun die Frage: wie löse ich die Ungleichung richtig:

1/x > |x-1| mit x ungleich 0 als Vorgabe.

Mich würde der genaue Rechenweg inkl. der Fallunterscheidungen interessieren. Ich steh da grad einfach voll auf dem Schlauch smile

smile

Meine Ideen:
So wie ich das aktuell sehe muss ich zwei Fälle betrachten nämlich x-1>0 und x-1<0. Aber wie heißen die entsprechenden Fälle dann und wie löse ich die Ungleichung dann richtig auf...

14.01.2015, 14:24

Iorek

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Deine Fälle sehen zunächst einmal gut aus, allerdings wird im weiteren Verlauf noch ein dritter Fall wichtig werden.

Fang doch einmal mit dem Fall x-1>0 an. Was kannst du in diesem Fall über x sagen? Wie wird der Betrag in diesem Fall aufgelöst?

14.01.2015, 14:36

Angel86

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Hallo erst mal danke für die schnelle Reaktion.

wenn x-1>0 angenommen wird dann muss x>1 gelten
den Betrag kann ich dann auflösen ohne weiteres Vorgehen. Also kann ich die Gleichung einfach abschreiben, nur eben den Betrag weglassen, also

1/x > x-1

Ich habe dann versucht die Gleichung auszurechnen, meine Ergebniszahlen sind aber komplett vom Lösung des Buches abgewichen unglücklich

unglücklich

Ich habe zunächst mit x multipliziert sodass dann folgendes rauskommen sollte:

1 > x^2 -x oder ist das schon falsch?

14.01.2015, 14:41

Iorek

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Bis hier ist alles richtig, allerdings solltest du bei der Multiplikation mit Variablen im Umgang mit Ungleichungen aufpassen. Was passiert, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst? Diese Frage sollte man sich immer stellen, wenn man Ungleichungen umformt und dabei multipliziert/dividiert.

Ansonsten kannst du diese quadratische Ungleichung jetzt weiter auflösen.

14.01.2015, 14:53

Angel86

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Dann würde ich wie folgt weiter machen:

1 > x^2-x mit der quadratischen Ergänzung
1 > x^2-x+0,25-0,25
1 > (x-0,5)^2-0,25
1,25 > (x-0,5)^2

Ich stell mir das dann immer um, sodass ich auf das komme

(x-0,5)^2 < 1,25
Um hier das Quadrat aufzulösen kann ich ja wieder Beträge setzen oder?

also |x-0,5| < 1,25

Beim Multiplizieren/Divideren mit einer negativen Zahl kommt es zu einem Wechsel des Zeichens > wird also zu <.

Weiter als so bin ich nicht gekommen...

Das Buch nennt folgende Lösung: L=]0;1/2*(1+Wurzel5)[

14.01.2015, 15:04

Iorek

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Zitat:

Original von Angel86
Dann würde ich wie folgt weiter machen:

1 > x^2-x mit der quadratischen Ergänzung
1 > x^2-x+0,25-0,25
1 > (x-0,5)^2-0,25
1,25 > (x-0,5)^2

Ich stell mir das dann immer um, sodass ich auf das komme

(x-0,5)^2 < 1,25

Bis hier habe ich keine Einwände, allerdings hast du dann vergessen auch auf der rechten Seite die Wurzel zu ziehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} (x-0{,}5)^2 < 1{,}25 \Leftrightarrow |x-0{,}5|<\sqrt{1{,}25} \end{eqnarray*}$

Wie könnte man diesen Betrag jetzt (möglichst ohne weitere Fallunterscheidung) auflösen? Als Beispiel: $\begin{eqnarray*} |x|<2 \end{eqnarray*}$ lässt sich auch schreiben als $\begin{eqnarray*} -2<x<2 \end{eqnarray*}$ , versuch das mal auf deine Aufgabe anzuwenden.

Zitat:

Original von Angel86
Beim Multiplizieren/Divideren mit einer negativen Zahl kommt es zu einem Wechsel des Zeichens > wird also zu <.

Richtig. Wenn man nun mit Variablen multipliziert, muss man sich über das Vorzeichen Gedanken machen; schließlich könnte $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ positiv oder negativ sein. Warum dreht sich das Zeichen bei dieser Umformung also nicht um?

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14.01.2015, 15:32

Angel86

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Ach herr je, das stimmt natürlich auffallend unglücklich

unglücklich

Ok dann habe ich also |x-0,5|>Wurzel 1,25
Könnte man evtl. so schreiben: L=]-Wurzel 1,25 + 0,5; Wurzel 1,25 + 0,5[

Das Zeichen dreht sich hier nicht, da wir ja den ersten Fall mit x-1>0 betrachten, oder?

Wenn dem so wäre würde ich als nächstes den Fall x-1<0 anschauen. Dann würde ja x<1 sein.

Nun bin ich mir aber nicht ganz im Klaren, ob ich hier mit derselben Ungleichung rechnen kann und nur das Zeichen drehe oder ob ich statt x-1 schreibe: -x+1 und dann umforme. Wenn zweiteres stimmt komme ich ja nach der Multiplikation mit x das hier ja negativ ist auf das x^2-x+1>0... wenn ich da so schaue bereitet mir das beim weiteren Rechnen aber Probleme, sodass ich denke dass das nicht ganz stimmt.

Wenn ich das so schreibe geistert mir dann irgendwie die Frage im Kopf herum ob der Fall 0<x<1 auch noch eine Rolle spielt?

14.01.2015, 15:48

Iorek

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Zitat:

Original von Angel86
Ach herr je, das stimmt natürlich auffallend unglücklich

unglücklich

Ok dann habe ich also |x-0,5|>Wurzel 1,25
Könnte man evtl. so schreiben: L=]-Wurzel 1,25 + 0,5; Wurzel 1,25 + 0,5[

Das Zeichen dreht sich hier nicht, da wir ja den ersten Fall mit x-1>0 betrachten, oder?

Bevor wir uns den zweiten Fall angucken, sollten wir den hier erst einmal in Ordnung bringen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da wir im ersten Fall ja $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ betrachten, ist das natürlich positiv, deshalb dreht sich das nicht um. Bei dir oben hat es sich jetzt aber umgedreht...Tippfehler?

Dann zur Lösungsmenge: auch hier musst du beachten, dass wir $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ voraussetzen. Es kann in der Lösungsmenge ja nicht mehr enthalten sein, als wir an Zahlenmaterial zur Verfügung haben.

14.01.2015, 16:01

Angel86

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Also dann schreib ich jetzt einfach mal meine gesamte Rechnung ab fü den Fall x-1>0 und damit x>1:

1/x > x-1 |*x
1 > x^2 -x
0 > x^2 - x - 1
x^2 - x - 1 < 0 | quadratische Ergänzung
x^2 - x + 0,25 - 0,25 - 1 < 0
(x-0,5)^2 < 1,25
|x-0,5| < Wurzel 1,25 somit war das wohl ein Tippfehler geschockt

geschockt

Achso ok, dann darf die Lösungsmenge ja erst bei 1 losgehen.
L=[1; Wurzel 1,25 + 0,5[ verwirrt

verwirrt

14.01.2015, 16:06

Iorek

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Bis auf fehlende Äquivalenzpfeile gibt es für diesen Fall nichts mehr zu beanstanden (und da es sich um den ersten Fall handelt, würde ich der Lösungsmenge noch eine 1 im Index spendieren: $\begin{eqnarray*} \mathbb L_1=[1;\sqrt{1{,}25}+0{,}5] \end{eqnarray*}$ , wir bekommen im nächsten Fall ja auch noch eine Lösungsmenge). Freude

Freude

Du hast eben schon den Fall $\begin{eqnarray*} 0<x<1 \end{eqnarray*}$ angesprochen, diese spielt in der Tat eine Rolle...einerseits müssen die Fälle $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$ aufgrund des Betrags unterschieden werden, andererseits müssen wir noch auf $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ achten, da wir ja bei der Rechnung mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ multiplizieren. Das führt dann insgesamt auf drei Fälle: $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0<x<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ .

Könntest du über die gegebene Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac 1x > |x-1| \end{eqnarray*}$ im Fall $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ vielleicht direkt eine Aussage machen?

Und wie sieht das letztendlich im Fall $\begin{eqnarray*} 0<x<1 \end{eqnarray*}$ aus?

14.01.2015, 16:25

Angel86

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Ok, Lösungsmenge1 hab ich bei mir auch geschrieben. Freude

Freude

Dazu noch eine Frage: wenn ich micht recht erinnere bedeuten die [] also nach innen zeigend, dass die entsprechenden Elemente zur Menge gehören und bei ][ gehören sie nicht dazu. Da ich in der Ungleichung |x-0,5| < Wurzel 1,25 stehen habe, müsste die daraus folgende Lösung nicht auch ausgeschlossen werden? Da es ja kein <= Zeichen ist?

Spielt die Berücksichtigung von x>0 und x<0 nur in solchen Fällen eine Rolle wo ein x im Nenner steht? Wo man also mit x mulitplizieren oder dividieren muss?

So zum Fall x<0

Wenn x<0 ist, dann ist die linke Seite stets negativ, kann man hier sagen, dass die rechte Seite wegen der Beträge immer positiv ist?

Im Fall 0<x<1 wird der Betrag negativ ausgelöst, es kommt bei Multiplikation/Division mit x aber zu keinem Vorzeichenwechsel, da dieses ja positiv ist.

Kann man hier dann wie folgt schreiben: 1/x > -x + 1 ?

14.01.2015, 16:31

Iorek

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Zitat:

Original von Angel86
Ok, Lösungsmenge1 hab ich bei mir auch geschrieben. Freude

Freude

Dazu noch eine Frage: wenn ich micht recht erinnere bedeuten die [] also nach innen zeigend, dass die entsprechenden Elemente zur Menge gehören und bei ][ gehören sie nicht dazu. Da ich in der Ungleichung |x-0,5| < Wurzel 1,25 stehen habe, müsste die daraus folgende Lösung nicht auch ausgeschlossen werden? Da es ja kein <= Zeichen ist?

Ja, der rechte Randpunkt gehört nicht zur Lösungsmenge, weil wir "echt kleiner" haben.

Zitat:

Original von Angel86
Spielt die Berücksichtigung von x>0 und x<0 nur in solchen Fällen eine Rolle wo ein x im Nenner steht? Wo man also mit x mulitplizieren oder dividieren muss?

Ein klares Jein. Wenn ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Nenner steht, ist das ein deutliches Zeichen, dass man diesen Fall zumindest überdenken sollte. Es kann aber auch sein, dass z.B. $\begin{eqnarray*} x-5 \end{eqnarray*}$ im Nenner steht, dann ist der Fall $\begin{eqnarray*} x>5 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x<5 \end{eqnarray*}$ interessant. Es hängt da immer ein bischen von der Aufgabe ab.

Zitat:

Original von Angel86
So zum Fall x<0

Wenn x<0 ist, dann ist die linke Seite stets negativ, kann man hier sagen, dass die rechte Seite wegen der Beträge immer positiv ist?

Das kannst du machen. Was folgerst du dann für die Lösungsmenge in diesem Fall?

Zitat:

Original von Angel86
Im Fall 0<x<1 wird der Betrag negativ ausgelöst, es kommt bei Multiplikation/Division mit x aber zu keinem Vorzeichenwechsel, da dieses ja positiv ist.

Kann man hier dann wie folgt schreiben: 1/x > -x + 1 ?

Ja.

smile

Diese Ungleichung lässt sich jetzt ähnlich wie im ersten Fall lösen.

14.01.2015, 16:37

Angel86

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Dann würde ich für die Lösungsmenge folgern, dass diese leer ist, da der Fall ja nicht erfüllt werden kann.

Die Gleichung für den dritten Fall würde ich dann wie folgt auflösen:

1/x > -x +1 | *x
1 > -x^2 + x (das Vorzeichen bleibt hier stehen da x ja größer 0 ist)
0 > -x^2 + x - 1

also

-x^2 + x - 1 < 0 da würde ich dann mit (-1) multiplizieren damit ich ein positives x^2 habe also

x^2 - x + 1 > 0

Würde das soweit stimmen?

14.01.2015, 16:53

Iorek

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Sowohl der zweite als auch der bisherige dritte Fall sehen gut aus.

14.01.2015, 17:05

Angel86

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Oh super

Freude

Dann würde ich wie folgt weiter machen:

x^2 -x + 1 > 0 mit der quadratischen Ergänzung wieder
x^2 - x + 0,25 - 0,25 + 1 > 0
(x-0,5)^2 > 0,75
|x-0,5| > Wurzel 0,75

Damit würde ich nachfolgende Lösungsmenge angeben:

L3=]Wurzel 0,75 + 0,5;1[

der negative Bereich fällt hier ja wieder raus da wir y zwischen 0 und 1 betrachten.

Wenn dem so wäre könnte man die Lösungsmengen dann doch zur Gesamtlösungemenge zusammensetzen: da frage ich mich nur wieder wie. Ich hätte jetzt eigentlich das geschrieben: L=]Wurzel 0,75 + 0,5; Wurzel 1,25 + 0,5[ scheint aber nicht zu stimmen unglücklich

unglücklich

14.01.2015, 17:08

Iorek

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Zitat:

Original von Angel86
Oh super Freude

Freude

Dann würde ich wie folgt weiter machen:

x^2 -x + 1 > 0 mit der quadratischen Ergänzung wieder
x^2 - x + 0,25 - 0,25 + 1 > 0
(x-0,5)^2 > 0,75

In diesem Schritt steckt dein Fehler. Setz da noch einmal an. smile

smile

14.01.2015, 17:37

Angel86

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hah, hah das muss natürlich - 0,75 heißen.

Der Betrag von x-0,5 kann doch aber nicht negativ werden, oder?
Damit wäre L3 auch die leere Menge.

Somit wäre mir zumindest ein Bereich der Lösungsmenge klar, nämlich der hinter Wurzel 1,25 + 0,5[, ich würde vorne aber [1, schreiben, die Lösung im Buch schreibt aber hier eine 0 verwirrt

verwirrt

14.01.2015, 17:38

Iorek

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Zitat:

Original von Angel86
hah, hah das muss natürlich - 0,75 heißen.

Der Betrag von x-0,5 kann doch aber nicht negativ werden, oder?
Damit wäre L3 auch die leere Menge.

Da machst du eine falsche Folgerung. $\begin{eqnarray*} (x-0{,}5)^2>-0{,}75 \end{eqnarray*}$ , welche Zahlen darfst du hier für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einsetzen, damit die Ungleichung erfüllt ist?

14.01.2015, 19:50

Angel86

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Mhm um die Klammer aufzulösen müsste ich ja die Wurzel ziehen, das geht ja aber doch nicht mit negativen Zahlen oder?

Jetzt steh ich voll auf dem Schlauch unglücklich

unglücklich

15.01.2015, 01:20

Iorek

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Das ist nicht die Antwort auf die Frage: welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kannst du alle einsetzen, damit die Ungleichung erfüllt ist? Ansonsten versuch dir diese Ungleichung auch einmal graphisch zu veranschaulichen.

15.01.2015, 08:10

Angel86

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Mhm wenn ich mir den Grafen anschaue, gilt das für alle x des linken Parabalastes die eben größersind als -0,75 und kleiner als der Schnittpunkt des Grafen mit der y-Achse.

15.01.2015, 10:04

Iorek

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Ich kann leider nicht nachvollziehen, was du damit sagen willst.

Offensichtlich verläuft der Graph nirgendwo unterhalb der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse, mit anderen Worten: $\begin{eqnarray*} (x-0{,}5)^2\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Was bedeutet das nun für die Ungleichung $\begin{eqnarray*} (x-0{,}5)^2\> -0{,}75 \end{eqnarray*}$ ?

15.01.2015, 10:12

Angel86

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Wenn ich das lese was du schreibst weiß ich das selbst nicht mehr genau unglücklich

unglücklich

Aber wenn für (x-0,5)^2 > 0 gilt dann ist die Ungleichung mit - 0,75 ja nicht erfüllt bzw. wird erst wahr ab 0 also (x-0,5)^2>0. unglücklich

unglücklich

15.01.2015, 10:31

Iorek

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Warum sollte sie "erst mit 0" wahr werden? geschockt

geschockt

Die Variable in dieser Ungleichung ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Was kannst du nun alles für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einsetzen, damit $\begin{eqnarray*} (x-0{,}5)^2>-0{,}75 \end{eqnarray*}$ eine korrekte Ungleichung ist?

Probieren wir es mal mit $\begin{eqnarray*} x=-999{,}5 \end{eqnarray*}$ , eingesetzt steht dann da $\begin{eqnarray*} (-999{,}5-0{,}5)^2=(-1000)^2=1000000>-0{,}75 \end{eqnarray*}$ . Ist diese Ungleichung korrekt?

Jetzt mal mit $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ , eingesetzt ist das $\begin{eqnarray*} (-1-0{,}5)^2=(-1{,}5)^2=2{,}25>-0{,}75 \end{eqnarray*}$ . Ist diese Ungleichung korrekt?

Als nächstes $\begin{eqnarray*} x=5{,}612454 \end{eqnarray*}$ . Wenn du das einsetzt und ausrechnest, ist die Ungleichung korrekt?

15.01.2015, 10:39

Angel86

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Jetzt steh ich total auf der Leitung.

Mein Problem ist, dass ich aufgrund der negativen Zahl rechts, gar nicht angefangen hätte rumzuprobieren, da ich die Ungleichung nicht weiter auflösen könnte (da keine Wurzel aus negativen Zahlung gezogen werden kann). Woher weiß ich denn dann, dass so eine Folgerung nicht möglichist und ich "Rumprobieren" muss?

Zu den Beispielzahlen: das ist doch alles wahr. Durch das ^2 kann die Klammer doch eh nie negativ werden oder?

15.01.2015, 10:47

Iorek

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Zitat:

Original von Angel86
Zu den Beispielzahlen: das ist doch alles wahr. Durch das ^2 kann die Klammer doch eh nie negativ werden oder?

Und genau diese Erkenntnis brauchen wir hier!

Du willst ja alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bestimmen, die die Ungleichung erfüllen. Das führt dich letztendlich auf die Ungleichung $\begin{eqnarray*} (x-0{,}5)^2>-0{,}75 \end{eqnarray*}$ . Und diese Ungleichung ist nun für jede reelle Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erfüllt. Das hat auch nichts mit rumprobieren zu tun.

15.01.2015, 10:52

Angel86

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Ok. Dann wäre die Lösungsmenge hier quasi R.

Die Lösungsmenge (gesamt) würde sich doch dann durch L1 ergeben oder? L2 war die leere Menge und L3 ist R. Oder wo steckt da jetzt wieder mein Denkfehler unglücklich

unglücklich

15.01.2015, 11:01

Iorek

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Zitat:

Original von Angel86
Ok. Dann wäre die Lösungsmenge hier quasi R.

Du musst hier auch wieder an die Voraussetzung denken. Die Ungleichung die wir erhalten, ist zwar für alle reellen Zahlen erfüllt, wir haben ja aber zu Beginn eine Bedingung an $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gestellt.

15.01.2015, 11:08

Angel86

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Man, man das ist echt ne schwere Geburt unglücklich

unglücklich

Es war ja 0<x<1 damit muss auch L3 dazwischen liegen L3=]0,1[

Und mit L1, L2 und L3 folgt dann

L=]0 traurig

traurig

Wurzel1,25) + 0,5[ geschockt

geschockt

15.01.2015, 11:12

Iorek

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Und (abgesehen von dem zufälligen Smiley Augenzwinkern

Augenzwinkern

) damit ist die Lösungsmenge bestimmt. smile

smile

15.01.2015, 11:14

Angel86

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Haha wo kommt denn der her smile

smile

Ich danke dir vielmals! Jetzt kann ich die Aufgaben nochmal angehen, die ich aufgrund von Verzweiflung zurückgestellt habe smile

smile

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