f(x) diff'bar und f'(x) dann stetig?

14.01.2015, 16:24

Shinobi.Master

f(x) diff'bar und f'(x) dann stetig?

Hallo Matheprofis,

eine weitere Aufgabe erfordert eure freundliche Unterstützung:

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Beweisen Sie, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben durch

$\begin{eqnarray*} f(x) := \{0 , x = 0 <br /> \{x^2 \cdot sin(\frac{1}{x}), x \neq 0 \end{eqnarray*}$

differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung. Ist die Ableitung f'(x) stetig? Begründen Sie ihre Antwort.

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Die erste Ableitung zu bestimmen ist kein Problem

$\begin{eqnarray*} f'(x) := \{0 , x = 0<br /> \{2x \cdot sin(\frac{1}{x}) + x^2 \cdot cos(\frac{1}{x}) \cdot (\frac{-1}{x^2}) , x \neq 0 \end{eqnarray*}$

und das die Ableitung stetig ist folgt doch aus den Definitionen. Wenn die Funktion diff'bar ist, so ist sie auch stetig und die Ableitung der Funktion ändert nichts daran, das sie immer noch diff'bar ist und somit ist auch die Ableitung f'(x) stetig oder?

Aber wie kann ich zeigen, dass f(x) bei 0 nicht diff'bar ist, aber bei ungleich 0 schon?

14.01.2015, 18:10

RavenOnJ

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RE: f(x) diff'bar und f'(x) dann stetig?
Wer sagt denn, dass die Funktion an der Stelle 0 nicht differenzierbar ist?

14.01.2015, 18:40

Shinobi.Master

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Ich dummerchen... Natürlich kann man die Null ableiten... kommt wieder Null raus.

Also was brauche ich bei dieser Funktion für "Werkzeuge" um die Diff'barkeit hier nachzuweisen?

14.01.2015, 18:52

RavenOnJ

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Ganz normal, Differenzenquotient, Limes h gegen 0:
$\begin{align*} \left. f'(x)\right|_{x=0}=\lim_{h\to 0}\frac{h^2\sin(1/h)-0}{h}=0 \end{align*}$

14.01.2015, 19:53

Shinobi.Master

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Das ist schon der Beweis für die Diff'barkeit in x = 0?

14.01.2015, 20:36

RavenOnJ

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Klar. Du müsstest natürlich noch zeigen, dass $\begin{align*} \lim_{x\to 0}x^2\sin(1/x)=0 \end{align*}$ .

14.01.2015, 20:55

Shinobi.Master

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Genau das versuche ich gerade herauszufinden... Ich weiß wir hatten das schon mal in der Vorlesung. Ich find es nur nicht.

Also ich probiers mal so $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^2 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ konvergiert nicht gegen einen Grenzwert, ist also divergent.

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^2sin(\frac{1}{x}) = 0 \end{eqnarray*}$

Ist das so in Ordnung?

14.01.2015, 21:51

RavenOnJ

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So stimmt das nicht. Man kann das aber so ausdrücken:
Es ist $\begin{align*} \forall x \not=0: \lvert \sin(1/x)\rvert \le 1\Rightarrow \lim_{x \to 0} x^2\lvert \sin(1/x)\rvert \le \lim_{x \to 0} x^2 \cdot 1 = 0 \end{align*}$

Da der Grenzwert des Betrages null ist, gilt auch für den Limes ohne Betrag derselbe Grenzwert.

14.01.2015, 23:17

IfindU

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Ihr müsst eigentlich $\begin{eqnarray*} x \sin( 1/ x ) \to 0 \end{eqnarray*}$ zeigen.

14.01.2015, 23:42

Shinobi.Master

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Danke

15.01.2015, 00:13

RavenOnJ

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Zitat:

Original von IfindU
Ihr müsst eigentlich $\begin{eqnarray*} x \sin( 1/ x ) \to 0 \end{eqnarray*}$ zeigen.

Edit: Ach so, alles klar. Es ist ja $\begin{align*} f(0)=0 \end{align*}$ bereits definiert. Deswegen ist wirklich nur $\begin{align*} h \sin( 1/ h ) \to 0 \end{align*}$ zu zeigen.

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