Wachstum Polynom vs. Exponentialfkt.

14.01.2015, 17:33	Backes	Auf diesen Beitrag antworten »
Wachstum Polynom vs. Exponentialfkt. Meine Frage: Die Aufgabe lautet wie folgt: Es sei $\begin{eqnarray} p: \mathbb R -> \mathbb R \end{eqnarray}$ ein Polynom vom Grad $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass folgendes gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \frac{p(x)}{exp(x)} = 0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: In einer der Übungen haben wir schon mal bewiesen, dass $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \frac{x^{n} }{exp(x)} = 0 \end{eqnarray}$ gilt und von da aus auch auf $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \frac{p(x)}{exp(x)} = 0 \end{eqnarray}$ geschlossen. Allerdings erschließt sich uns noch nicht ganz warum man das so folgern kann. Eventuell gibt es auch eine bessere Lösung außer Spekulation.
14.01.2015, 17:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jeder von endlich vielen Summanden hat den Grenzwert 0.
14.01.2015, 18:22	Backes	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ist das gemeint?
14.01.2015, 18:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} p(x)=a_mx^m+...+a_0 \end{eqnarray}$ hat endlich viele, nämlich genau m+1 Summenden. Für n von 0 bis m gilt $\begin{eqnarray} lim_{x\to\infty} \frac {a_mx^m} {exp(x)}=0 \end{eqnarray}$ . Dann bleibt für den Grenzwert der Summe nicht mehr viel Spielraum.
14.01.2015, 18:48	Backes	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist im Endeffekt gemeint, dass die Funktion sich für sehr große x durch den Summanden mit der höchsten Potenz beschreiben lässt?
14.01.2015, 19:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, viel einfacher : 0+...+0=0
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