Innere Punkte - Von Metrik induzierte Topologie

14.01.2015, 18:07	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Innere Punkte - Von Metrik induzierte Topologie Also, ich hab hier noch ein kleiens Problem, wieder ein Beispiel aus einem Buch, dass, wie ich finde, keinen Sinn ergibt. Definition (Innere Punkte): Ein Punkt $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ heisst innerer Punkt von $\begin{eqnarray} X \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray} B_\epsilon (x) \subset X \end{eqnarray}$ In meinen Worten: Ich habe eine Menge X gegeben. Nun pflaster ich die mit Bällen voll. Alle Punkte die in den Bällen sind welche in X "platz finden", sind innere Punkte. Wieder ausm Buch: In einfachen Worten: Ein innerer Punkt X ist einfach ein Punkt $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ , für den ein offener Ball $\begin{eqnarray} B_\epsilon (x) \end{eqnarray}$ um x existiert, der ganz in X liegt. Diese Definition verallgemeinert den Begriff des inneren Punktes im Fall n=1: Für n=1 und d=d_2 ist der offene Ball $\begin{eqnarray} B_\epsilon (x) \end{eqnarray}$ gleich dem offenen Intervall (x-eps, x+eps). Beispiel: Der Punkt (0,0) ist ein innerer Punkt X=[-1,1]x[-1,1], weil der offene Ball $\begin{eqnarray} B_{0.5}(0,0)=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \| x^2+y^2<0.25\} \end{eqnarray}$ ganz in X enthalten ist. Der Punkt (1,1) ist aber kein innerer Punkt von X, weil kein $\begin{eqnarray} B_\epsilon (1,1) \end{eqnarray}$ ganz in X enthalten ist. So, ich hab keine Schreibfehler gemacht. d_2 ist die normale euklidische Metrik. Meiner Meinung nach, ist das Beispiel oben ein wenig fehlerhaft. z.B. wieso n=1? sollte es nicht n=2 sein? Oder sonst halt R anstatt R^2. Kleine Frage nebenbei: Was ist das Kreuzprodukt von Intervallen? Sollte ich oben nicht eine Fläche bekommen wobei die 4 Punkte (-1,-1) (1,1) (-1,1) und (1,-1) sind? Angeblich gibt das ja 0, aber wieso?
14.01.2015, 18:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das "Beispiel" sind 2 Beispiele, die nichts miteinander zu tun haben. Beispiel 1: Für n=1 sind offene Bälle um x symmetrische offene Intervalle. Beispiel 2: n=2, (0,0) ist innerer Punkt von X. X ist ein abgeschlossenes um (0,0) symmetrisches Quadrat.
15.01.2015, 10:55	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, dann passts schon, danke.

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