Algebraische Körpererweiterung Monomorphismus

14.01.2015, 17:31	Gast42	Auf diesen Beitrag antworten »
Algebraische Körpererweiterung Monomorphismus Meine Frage: Hallo, ich brauche bei folgender Aufgabe etwas Hilfe: Sei L/K algebraisch und $\begin{eqnarray} \phi=L\rightarrow L \end{eqnarray}$ ein Körpermonomorphismus mit $\begin{eqnarray} \phi_{\|K}=id_K \end{eqnarray}$ . Zeige: Dann ist $\begin{eqnarray} \phi \in Gal(L/K) \end{eqnarray}$ . Ist L/K nicht algebraisch, so ist dies nicht der Fall. Meine Ideen: Zunächst muss ich ja eigentlich zeigen, dass $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ein Isomorphismus ist, wenn L/K algebraisch ist, denn dann ist ja $\begin{eqnarray} \phi \in Gal(L/K) \end{eqnarray}$ . Wie kann ich das zeigen? Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!
14.01.2015, 19:25	Gast42	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal. Ich muss irgendwie aus der Eigenschaft, dass alle $\begin{eqnarray} \alpha\in L \end{eqnarray}$ Nullstelle eines Polynoms sind folgern, dass die Abbildung $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ surjektiv ist. Wie kann ich das zeigen? Viele Grüße, Gast42
14.01.2015, 20:03	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo auch, habe hier mitgedacht: Denke daran, dass es sich hier um einen körperhomomorphismus handelt, es gilt also phi(a+b)=phi(a)+phi(b) und insbesondere phi(0)=0. Was passiert dann also mit den nullstellen von polynomen mit koeffizienten aus K ... ? Damit ist eine hälfte der aufgabe schon gelöst. gruss ollie3
14.01.2015, 20:22	Gast42	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo ollie, danke für deine Antwort. Werden Nullstellen eines Polynoms $\begin{eqnarray} f\in K[t] \end{eqnarray}$ wieder auf Nullstellen dieses Polynoms abgebildet? Denn es ist $\begin{eqnarray} \phi(f)=f \end{eqnarray}$ (frei ausgedrückt, ich denke du weißt, was gemeint ist - Alle Koeffizienten von f unter $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ abgebildet), da die Koeffizienten ja in K sind. Betrachtet man $\begin{eqnarray} \phi(f(\alpha)) \end{eqnarray}$ für eine Nullstelle $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ eines Polynoms f in K[t], so sieht man, dass auch $\begin{eqnarray} \phi(\alpha) \end{eqnarray}$ eine Nullstelle von f ist. Die Nullstellen werden also lediglich permutiert (da $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ injektiv ist). Somit erhält man einen Isomorphismus. Passt das soweit? LG, Gast42
15.01.2015, 14:04	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, ja, das stimmt soweit bzw. du meinst das richtige. Und jetzt kannst du dir überlegen, wie sich die situation ändert, wenn die erweiterung nicht mehr algebraisch ist... gruss ollie3

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