Stetige Fortsetzung

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14.01.2015, 19:46	Medium	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Fortsetzung Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} D:=\left\{z\in\mathbb{C}: \lvert z\rvert <1\right\} \end{eqnarray}$ und definiere $\begin{eqnarray} P\colon D\times D\to\mathbb{R} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} P(x,y):=\begin{cases}\frac{1-\lvert x\rvert^2}{\lvert x-y\rvert^2}, & \text{ if }x\neq y\\0, & \text{ if }x=y\end{cases} \end{eqnarray}$ . Weiter seien $\begin{eqnarray} E:=\left\{0\right\}\cup\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left\{(1-2^{-n})e^{\pi ik/2^n}: k\in\left\{0,1,\ldots,2^{n+1}-1\right\}\right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S^1:=\left\{z\in\mathbb{C}: \lvert z \rvert =1\right\} \end{eqnarray}$ . Betrachte die Funktionen $\begin{eqnarray} y\mapsto P(x,y) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} y\in E \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass man die Funktionen $\begin{eqnarray} y\mapsto P(x,y) \end{eqnarray}$ stetig auf $\begin{eqnarray} E\cup S^1 \end{eqnarray}$ fortsetzen kann. Meine Ideen: Hallo! Folgendes macht mir Probleme: 1.) Sind denn die Funktionen $\begin{eqnarray} y\mapsto P(x,y) \end{eqnarray}$ überhaupt auf E stetig? Meines Erachtens nicht--- aber wie kann man dann von einer stetigen Fortsetzung reden? 2.) Wie kann man stetig fortsetzen? Für $\begin{eqnarray} s\in S^1 \end{eqnarray}$ gibts eine Folge $\begin{eqnarray} (x_n)_n \end{eqnarray}$ in E, die gegen s konvergiert. Also konvergiert $\begin{eqnarray} P(x,x_n) \end{eqnarray}$ und es würde sich wohl anbieten die gesuchte Funktion auf $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} S(s):=\lim_n x_n \end{eqnarray}$ zu setzen?
15.01.2015, 11:45	Medium	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann bitte jemand helfen? Mir läuft leider die Zeit davon. Sorry fürs Drängeln!
15.01.2015, 14:54	Medium	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, Leute, nehmt's mir nicht übel (bitte), aber ich brauche wirklich eure Hilfe, erinnert euch an eure Studentenzeit, in der ihr auch unter Zeitdruck Aufgaben lösen musstet. Ich hab nur noch wenig Zeit... Ich schäm mich für mein Drängeln, aber ich muss diese Aufgabe haben, um wichtige Punkte zu sammeln.
15.01.2015, 15:08	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss gleich weg, aber damit du wenigstens etwas Ansatz hast: Die Funktion (und jede andere Funktion) ist auf E stetig, da es nur einzelne, isolierte Punkte in D sind. Stetige Fortsetzung für x mit $\begin{eqnarray} \|x\| \neq 1 \end{eqnarray}$ ist sehr leicht, da P dort einfach stetig, wohldefiniert usw ist. Das einzige Interessante ist \|x\| = 1. Und da ist die einzige Problemstelle auch y = x. Da die Funktion sonst überall 0 auf S^1 ist, musst du also zeigen, dass für $\begin{eqnarray} y^k \in E \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y^k \to x \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} P(y_k, x) \to 0 \end{eqnarray}$ . Noch ein Tipp: $\begin{eqnarray} x = e^{i \varphi} \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} \varphi \in [0, 2\pi) \end{eqnarray}$ und y besitzt auch durch E eine nette Darstellung.
15.01.2015, 15:19	Medium	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, aber ist zum Beispiel die Funktion $\begin{eqnarray} y\mapsto P(0,y) \end{eqnarray}$ wirklich auf ganz $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ stetig?
15.01.2015, 15:33	Medium	Auf diesen Beitrag antworten »
@IfindU Es tut mir leid, ich habe vergessen zu sagen, dass bei den Funktionen $\begin{eqnarray} y\mapsto P(x,y) \end{eqnarray}$ das x aus E stammen soll. Somit kann der Fall $\begin{eqnarray} \lvert x\rvert =1 \end{eqnarray}$ nicht vorkommen. Somit sind die Funktionen auf dem Rand nicht 0...
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15.01.2015, 16:43	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst zeigen, dass für jedes x in E ein r > 0 existiert s.d. $\begin{eqnarray} B_r(x) \cap E = \{ x \} \end{eqnarray}$ , und damit folgt sofort die Stetigkeit.
15.01.2015, 16:57	Medium	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, verstanden: Die Funktionen $\begin{eqnarray} y\mapsto P(x,y), x\in E \end{eqnarray}$ haben eine diskrete Definitionsmenge und somit sind sie stetig. (Das wäre auch richtig für $\begin{eqnarray} x\in D \end{eqnarray}$ statt in $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ , aber es geht hier nur um die Funktionen $\begin{eqnarray} y\mapsto P(x,y) \end{eqnarray}$ , wo x aus E stammt, das habe ich im Eröffnungspost leider vergessen zu erwähnen.) --- Wie ist das nun mit der stetigen Fortsetzbarkeit? Also für $\begin{eqnarray} y\in E \end{eqnarray}$ kann man die fortgesetzte Funktion f einfach als die alte Funktion setzen, die ist ja auf E definiert und stetig. Aber was ist mit Punkten $\begin{eqnarray} y\in S^1 \end{eqnarray}$ ? Die Argumentation, dass man da die Funktion auf 0 fortsetzen kann, gilt ja nun nicht mehr, da $\begin{eqnarray} x\in E \end{eqnarray}$ ist. Meine Idee ist folgende: Sei $\begin{eqnarray} y\in S^1 \end{eqnarray}$ . Es gibt eine Folge $\begin{eqnarray} (x_n)_n \end{eqnarray}$ in E, die gegen y konvergiert. Kann man denn dann für die fortgesetzte Funktion f nicht setzen: $\begin{eqnarray} f(y):=\lim_n P(x,x_n) \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} P(x,\cdot) \end{eqnarray}$ stetig ist, kann man doch den Limes in die Funktion ziehen, also $\begin{eqnarray} \lim_n P(x,x_n)=P(x,\lim_n x_n) \end{eqnarray}$ und das konvergiert ja gegen $\begin{eqnarray} \frac{1-\lvert x\rvert^2}{\lvert x-y\rvert^2} \end{eqnarray}$ . Somit müsste das doch klappen und nach Konstruktion ist f somit auch stetig auf $\begin{eqnarray} S^1 \end{eqnarray}$ ?
15.01.2015, 17:03	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Für y aus E kannst du nichts anderes als P nehmen. Es heißt Fortsetzung, nicht Ersetzung...Ansonsten ist jede Funktion zur Nullfunktion "fortsetzbar". Und die Fortsetzung mit x nicht in der S1 habe ich auch mit einem Satz oben erwähnt. Stimmt also alles.
15.01.2015, 17:11	Medium	Auf diesen Beitrag antworten »
Thank you!

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