Wurzel aus komplexen Zahlen ziehen

14.01.2015, 21:28

Matt99

Wurzel aus komplexen Zahlen ziehen

Beim ziehen von Wurzeln mit komplexen Zahlen hatten wir vor einigen Monaten folgende Formeln benutzt:

$\begin{eqnarray*} b=\pm\sqrt{\frac{-x+\sqrt{x²+y²} }{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=\frac{y}{2b} \end{eqnarray*}$

Nun ist dies schon ein Weilchen her und aus meinen Unterlagen kann ich meine damaligen Gedankengänge nicht mehr nachvollziehen, darum bräuchte ich mal einen Denkanstoß...

Gegeben sei diese Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(4-2i)(3+i)} \end{eqnarray*}$

Muss ich die Aufgabe erstmal, unabhängig von der Wurzel, zusammenfassen und auf eine a+bi Form bringen? Wäre das dann
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(4-2i)(3+i)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{12+4i-6i-2i²} \qquad | \end{eqnarray*}$ 4*3; 4*i; -2i*3; -2i*i
$\begin{eqnarray*} \sqrt{12-2i-2-1} \qquad | \end{eqnarray*}$ Imaginaerteil zusammenfassen; aus i² wird -1
$\begin{eqnarray*} \sqrt{9-2i} \qquad | \end{eqnarray*}$ Zusammenfassen
?

Und dann die Formel anwenden? Wie genau würde das bei diesem Beispiel aussehen?
Ist mein x=9 und y=-2, sodass ich folgendes bekomme:
$\begin{eqnarray*} b=\pm\sqrt{\frac{-9+\sqrt{9²+(-2)²} }{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=\pm\sqrt{\frac{-9+13}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=\pm\sqrt{\frac{4}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=\pm\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

(Beim rechnen im Kopf kam ich übrigens bei $\begin{eqnarray*} \sqrt{9²+(-2)²} \end{eqnarray*}$ auf was ganz anderes. Ich hatte $\begin{eqnarray*} (9²=81) + (-2²=4) = \sqrt{85} \end{eqnarray*}$ . Und das kann man schelcht im Kopf rechnen bzw hab ich durch den Taschenrechner was logischeres auch bekommen. Wo lag da mein Denkfehler?)

Nun mein b in die Formel für a einsetzen:
$\begin{eqnarray*} a=\frac{-2}{2*\pm\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

Wie geht es hier dann weiter?
Und wie geht man grundsätzlich bei Aufgaben vom $\begin{eqnarray*} \sqrt{-i} \end{eqnarray*}$ vor?

14.01.2015, 21:31

HAL 9000

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Etwas anders geschrieben, geht es aber im Grunde genommen um das hier:

Algebraische Darstellung der komplexe Quadratwurzel, d.h. ohne Umweg über die Polardarstellung

Zitat:

Original von Matt99
$\begin{eqnarray*} b=\pm\sqrt{\frac{-9+\sqrt{9²+(-2)²} }{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=\pm\sqrt{\frac{-9+{\color{red}13}}{2}} \end{eqnarray*}$

Wie in aller Welt kommst du dort auf $\begin{align*} {\color{red}13} \end{align*}$ ??? Richtig gerechnet muss da $\begin{align*} \sqrt{85} \end{align*}$ stehen!

EDIT: Dann bleib mal beim Kopfrechnen, damit scheint es ja zu klappen.

14.01.2015, 21:55

Matt99

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Mir ist eben auch ein Fehler aufgefallen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(4-2i)(3+i)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{12+4i-6i-2i²} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{12-2i-2*(-1)} \qquad | \end{eqnarray*}$ -1 multiplizieren, da b*i
$\begin{eqnarray*} \sqrt{14-2i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pm\left(\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sqrt{14^2+(-2)^2}+14\right)}+i \cdot -1\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sqrt{14^2+(-2)^2}-14\right)}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \pm\left(\sqrt{\frac{1}{2}\left({26}\right)}+i \cdot -1\sqrt{\frac{1}{2}\left({-2}\right)}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \pm\left(\sqrt 13)+i \cdot -1\sqrt{\left(-1\right)}\right) \end{eqnarray*}$

Auch hier steh ich irgendwann auf dem Schlauch, da ich mich sicher schon längst verrechnet hab. Ich würde es auch eher mit der Lösungsformel angehen, die ich oben zuerst genannt hab (da ich die doch "übersichtlicher" find und auch besser, dass man sich dort nicht die Abhängigkeit von s erst anschauen muss).

14.01.2015, 22:00

HAL 9000

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Ja, ich sehe es jetzt auch: Bei dir muss man jeden Schritt von Anfang an nachkontrollieren - ist die blanke Katastrophe, was du da zusammenrechnest. unglücklich

$\begin{align*} (4-2i)(3+i) = 14-2i \end{align*}$ ist jetzt wenigstens erstmal richtig.

Aber: $\begin{align*} 14^2+(-2)^2 = 196+4 = 200 \end{align*}$

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