Identität Polarkoordinaten und kartesische Koordinaten Beweis

14.01.2015, 22:23	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Identität Polarkoordinaten und kartesische Koordinaten Beweis Meine Frage: Hallo, sei f eine diff.bare Funktion in einer offenen Menge K aus IR^2 , wo die Polarkoordinaten wohldefiniert sind. Zeige die Identität: $\begin{eqnarray} (\frac{\delta f}{\delta x})^{2} + (\frac{\delta f}{\delta y})^{2} = (\frac{\delta f}{\delta r})^{2} + \frac{1}{r^{2}} \cdot (\frac{\delta f}{\delta \theta})^{2} \end{eqnarray}$ wobei (x,y) kart. Koordinaten und $\begin{eqnarray} (r , \theta) \end{eqnarray}$ Polarkoordinaten sind. Meine Ideen: Ich vermute mal, dass ich diese Identität mit über die Transformationsformeln $\begin{eqnarray} x = r \cdot cos(\theta) und y = r \cdot sin(\theta) \end{eqnarray}$ zeigen kann. Anschließend muss ich die Funktion f partiell nach den Parametern x , y , r und Theta ableiten, aber mir fällt nicht ein, wie ich das Problem angehen soll. Über Hilfe wäre ich sehr dankbar! Viele Grüße Widderchen
15.01.2015, 00:16	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Identität Polarkoordinaten und kartesische Koordinaten Beweis Anwendung der Kettenregel würde helfen
15.01.2015, 00:48	Jayk	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, Kettenregel hilft. Vielleicht solltest du erstmal darüber nachdenken, was mit dieser formalen Notation gemeint ist, also was $\begin{eqnarray} \partial f / \partial r \end{eqnarray}$ sein soll, denn f ist ja eine Funktion von x und y. Wenn das geklärt ist, wird auch offensichtlich, was die Kettenregel damit zu tun hat.
15.01.2015, 09:52	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz allegemein ergibt das Ableiten einer verketteten Funktion $\begin{eqnarray} f[u_1(x_1,x_2),u_2(x_1,x_2)] \end{eqnarray}$ mittels Kettenregel $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial f}{\partial x_1}=\tfrac{\partial f}{\partial u_1}\tfrac{\partial u_1}{\partial x_1}+\tfrac{\partial f}{\partial u_2}\tfrac{\partial u_2}{\partial x_1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial f}{\partial x_2}=\tfrac{\partial f}{\partial u_1}\tfrac{\partial u_1}{\partial x_2}+\tfrac{\partial f}{\partial u_2}\tfrac{\partial u_2}{\partial x_2} \end{eqnarray}$ Dies ist nichts anderes, als die Transformationsformel des Gradienten vom x-Raum in den u-Raum. In Matrixform heißt das $\begin{eqnarray} \underbrace{\begin{pmatrix} \tfrac{\partial f}{\partial x_1} \\ \tfrac{\partial f}{\partial x_2}\end{pmatrix}}_{\nabla_x f} =\underbrace{\begin{pmatrix} \tfrac{\partial u_1}{\partial x_1} & \tfrac{\partial u_2}{\partial x_1} \\ \tfrac{\partial u_1}{\partial x_2} & \tfrac{\partial u_2}{\partial x_2} \end{pmatrix}}_{\text{Matrix M}}\underbrace{\begin{pmatrix} \tfrac{\partial f}{\partial u_1} \\ \tfrac{\partial f}{\partial u_2}\end{pmatrix}}_{\nabla_u f} \end{eqnarray}$ Quadrieren dieser Gleichung liefert den Ausdruck, den du berechnen willst $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \tfrac{\partial f}{\partial x_1} \\ \tfrac{\partial f}{\partial x_2}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \tfrac{\partial f}{\partial x_1} \\ \tfrac{\partial f}{\partial x_2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \tfrac{\partial u_1}{\partial x_1} & \tfrac{\partial u_2}{\partial x_1} \\ \tfrac{\partial u_1}{\partial x_2} & \tfrac{\partial u_2}{\partial x_2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \tfrac{\partial f}{\partial u_1} \\ \tfrac{\partial f}{\partial u_2}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \tfrac{\partial u_1}{\partial x_1} & \tfrac{\partial u_2}{\partial x_1} \\ \tfrac{\partial u_1}{\partial x_2} & \tfrac{\partial u_2}{\partial x_2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \tfrac{\partial f}{\partial u_1} \\ \tfrac{\partial f}{\partial u_2}\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix} \tfrac{\partial u_1}{\partial x_1} & \tfrac{\partial u_2}{\partial x_1} \\ \tfrac{\partial u_1}{\partial x_2} & \tfrac{\partial u_2}{\partial x_2} \end{pmatrix}^T\begin{pmatrix} \tfrac{\partial u_1}{\partial x_1} & \tfrac{\partial u_2}{\partial x_1} \\ \tfrac{\partial u_1}{\partial x_2} & \tfrac{\partial u_2}{\partial x_2} \end{pmatrix}}_{\text {Matrix }M^TM}\begin{pmatrix} \tfrac{\partial f}{\partial u_1} \\ \tfrac{\partial f}{\partial u_2}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \tfrac{\partial f}{\partial u_1} \\ \tfrac{\partial f}{\partial u_2}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Speziell bei ebenen Polarkoordinaten haben wir als Koordinaten den Radius $\begin{eqnarray} u_1=R \end{eqnarray}$ und den Winkel $\begin{eqnarray} u_2=\phi \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} x_1=u_1\cdot \cos(u_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=u_1\cdot \sin(u_2) \end{eqnarray}$ Umstellen ergibt $\begin{eqnarray} u_1=\sqrt{x_1^2+x_2^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u_2=\arctan(x_2/x_1) \end{eqnarray}$ Durch Ableiten der letzten beiden Formeln nach $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ bekommt man die 4 Matrixelemente der Matrix M. Berechne daraus das Matrixprodukt $\begin{eqnarray} M^TM \end{eqnarray}$ und setze dieses Matrixprodukt in die obige Matrixformel ein. Ausrechnen des dortigen Skalarproduktes liefert das Gewünschte.
15.01.2015, 14:47	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielen Dank für eure Hilfe. Ich habe die Aufgabe gelöst. Insbesondere vielen Dank für die verallgemeinerte Darstellung von Ehos. Ja, ich hatte die Funktion f als Funktion der Parameterfunktionen R und Theta (die wiederum abhängig von x und y sind) erkannt. Allerdings war mir zu diesem Zeitpunkt noch nicht richtig klar, wie die Kettenregel als Ableitungsregel mehrdimensionaler Funktionen angewendet werden kann. Jetzt verstehe ich es. Nochmals danke!! Viele Grüße Widderchen
15.01.2015, 18:32	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
In der allgemeinen Form von Ehos sollte m.E. am Schluss $\begin{eqnarray} (\nabla_u f)^T M^TM \nabla_u f \end{eqnarray}$ stehen
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