Bilinearform einer zweifach stetig diff.baren Funktion f auf IR^n

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14.01.2015, 22:49	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Bilinearform einer zweifach stetig diff.baren Funktion f auf IR^n Meine Frage: Hallo, für eine Funktion $\begin{eqnarray} f \in C^{2} (\omega) \end{eqnarray}$ in einer offenen Menge OMEGA aus IR^n und für einen Punkt $\begin{eqnarray} x \in \omega \end{eqnarray}$ definiert man die Bilinearform: $\begin{eqnarray} Q(u,v) = \sum\limits_{i,j=1}^n \delta_{ij}f(x)u_{i} v_{j} \,\,\,\,<br /> \forall u,v \in \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ . Zeige die Identität: $\begin{eqnarray} \delta_{v}(\delta_{u} f) (x) = Q(u,v) \end{eqnarray}$ . Folgere daraus, dass gilt: $\begin{eqnarray} \delta_{u}(\delta_{v} f) (x) = \delta_{v}(\delta_{u} f) (x) \end{eqnarray}$ die beiden Delta u und Delta v stellen die Richtungsbleitungen bzgl. u und v dar. Meine Ideen: Prinzipiell ist in der Bilinearform das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v enthalten. Ich habe keinen konkreten Ansatz, wie ich diese Aufgabe lösen soll. In der Summe sind zweifache partielle Ableitungen einer n-dimensionalen Funktion f enthalten. Das sind ja gerade die Einträge der Hesse-Matrix, allerdings hatten wir diese Matrix in der Vorlesung noch nicht behandelt. Und ich weiß auch nicht, wie ich die Richtungsableitungen mit dieser Bilinearform in Einklang bringen soll. Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!! Viele Grüße Widderchen
15.01.2015, 00:28	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilinearform einer zweifach stetig diff.baren Funktion f auf IR^n Warum rechnest du nicht einfach mal? Auf der linken Seite der Identität steht doch eine klare anweisung. Wie ist die Richtungsableitung von f nach u definiert? Diese Richtungsableitung betrachtest du als eine Funktion g und bildest davon die richtungsableitung nach v.
15.01.2015, 15:40	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, da es sich hierbei um eine Bilinearform handelt, kann ich (und ich habe die Summe einfach ausgeschrieben, um dann den Sachverhalt zu erkennen!) Q(u,v) folgendermaßen darstellen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\...\\ u_n \end{pmatrix} ^{t}\cdot \begin{pmatrix} \delta_{1,1}f & \delta_{1,2}f ... &\delta_{1,n}f \\ \delta_{2,1}f ... \\ ...\\\delta_{n,1}f & ... &\delta_{n,n}f \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\...\\ v_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese Matrix ist doch gerade dann die Matrix mit den Einträgen der zweifachen part. ableitungen, also die Jacobi - (oder Hesse-) Matrix. Aber ich verstehe noch nicht ganz, wie ich die Richtungsableitung bzgl. v und u da hinein übersetzen soll und vor allen Dingen, welche Definition der Richtungsableitung, denn es gibt die Richtungsableitung bzgl. der eindimensionalen Funktion g(t) = f(x + tv), sowie die Limesdarstellung der Richtungsableitung: $\begin{eqnarray} \delta_{v} f(x) := lim_{t -> 0} \frac{f(x + t \cdot v) - f(x)}{t} \end{eqnarray*}$ Welche der beiden Definitionen der Richtungsableitung soll ich denn in dieser Bilinearform erkennen??? An dieser Stelle komme ich leider nicht weiter. Viele Grüße Widderchen
15.01.2015, 18:21	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Variante der Richtungsableitung du benutzt ist egal, beide führen auf $\begin{eqnarray} \partial_u f=u\cdot\nabla f=\sum u_i\partial_i f \end{eqnarray}$
15.01.2015, 19:29	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo URL, ich verstehe die erste Gleichheit in deiner Gleichungskette nicht. Bei der zweiten Gleichung wird das Skalarprodukt von u und Nabla f gebildet, das kann ich nachvollziehen, aber warum gilt: $\begin{eqnarray} \partial_{u} f = u \cdot \nabla f \end{eqnarray}$ ???? Viele Grüße Widderchen
15.01.2015, 19:47	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf die Schnelle fällt mir jetzt nicht ein, wie man die Aufgabe ohne die Beziehung $\begin{eqnarray} \partial_u f=u\cdot\nabla f \end{eqnarray}$ - oder eine andere griffige Beschreibung der Richtungsableitung - lösen soll. Herleiten kann man sie leicht. Für festes $\begin{eqnarray} x,u\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ betrachte $\begin{eqnarray} g(t):=f(x+tu), t\in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \partial_uf(x)=\lim \frac{f(x+tu)-f(x)}{t}=\lim \frac{g(t)-g(0)}{t}=g'(0) \end{eqnarray}$ und die Kettenregel liefert $\begin{eqnarray} g'(0)=f'(x)u \end{eqnarray}$ wobei rechts das Produkt aus der $\begin{eqnarray} 1\times n \end{eqnarray}$ -Matrix $\begin{eqnarray} f'(x) \end{eqnarray}$ und dem Vektor $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ steht. Das ist aber das gleiche wie das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} u\cdot \nabla f \end{eqnarray}$
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15.01.2015, 20:29	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, diese Herleitung verstehe ich. Auf analoge Weise erhalte ich dann die Richtungsableitung $\begin{eqnarray} \partial_{v} f \end{eqnarray}$ . Und durch Verkettung der beiden Richtungsableitungen erhalte ich dann die Bilinearform Q(u,v) . Ist diese Argumentation korrekt? Widderchen
15.01.2015, 20:49	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Das ist jetzt eine reine Rechenübung.
15.01.2015, 21:17	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe: $\begin{eqnarray} \partial_{u} f(x) = \sum\limits_{i=1}^n \partial_{i}f(x) \cdot u_{i} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \partial_{v} f(x) = \sum\limits_{j=1}^n \partial_{j}f(x) \cdot v_{j} \end{eqnarray}$ . Daraus ergibt sich dann: $\begin{eqnarray} \partial_{v}(\partial_{u}) f(x) = \partial_{v} (\sum\limits_{i=1}^n \partial_{i}f(x) \cdot u_{i}) = \sum\limits_{i,j=1}^n \partial_{i,j}f(x) \cdot u_{i} \cdot v_{j} \end{eqnarray}$ Ist das so korrekt bzw. ausreichend, da die Richtungsableitung doch eine linear additive Abbildung ist?? Sprich, delta v greift auf die einzelnen Summanden. Fehlen noch entscheidende Rechenschritte? Widderchen
15.01.2015, 21:34	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war's schon
15.01.2015, 21:46	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Geduld, URL. Viele Grüße Widderchen

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