Probelm bei vollst. Induktion

14.01.2015, 22:54

widerholung

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Probelm bei vollst. Induktion

Meine Frage:
Hallo,

ich weiss nicht wie ich bei folgender Aufgabe zur vollst. Induktion weiterkomme. Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$ 1/(2k-1)*(2k+1)=n/(2n+1)

Für alle natürlichen Zahlen.

Meine Ideen:
Bei

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$ 1/(2k-1)*(2k+1) + 1/[2(n+1)-1]*[2(n+1)+1) hänge ich. Weil ich nicht weiss was ich machen soll, dass ich von

1/[2(n+1)-1]*[2(n+1)+1)+n/2n+1 auf n+1/2n+2 komme.

Das 1/ soll immer "eins durch" den folgenden Ausdruck heissen. Ich wusste nicht wie das mit LaTeX geht.

Danke
Vl. könnt ihr mir weiterhelfen.

14.01.2015, 23:09

wiederholung

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habs jetzt gefunden:
Die Aufgabe...
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k \frac{1}{(2k-1)}\frac{1}{(2k+1)}= \frac{n}{2n+1} \end{eqnarray*}$

und hier hänge ich

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k \frac{1}{(2k-1)*(2k+1)}+ \frac{1}{[2(n+1)-1]*[2*(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

und jetz weiss ich nicht wie ich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{[2(n+1)-1]*[2*(n+1)+1}+ \frac{n}{2n+1} \end{eqnarray*}$ umformen muss damit ich $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2n+2} erhalte \end{eqnarray*}$

14.01.2015, 23:15

Helferlein

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Gar nicht, denn für n+1 lautet die rechten Seite der zu zeigenden Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2(n+1)+1} \end{eqnarray*}$ .

Als Tip gebe ich Dir noch mit auf den Weg die Nenner der linken Seite einmal auszurechnen.

14.01.2015, 23:34

wiederholung

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aaa vielen dank ...

jetzt bin ich schonmal hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} + \frac{n(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)} \end{eqnarray*}$

aber wie es jetzt weitergehen soll weiss ich leider nicht verwirrt

verwirrt

traurig

15.01.2015, 00:35

Helferlein

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Den gemeinsamen Nenner hast Du ja schon. Wenn Du nun noch einen Zähler erreichst, bist Du dem Ziel schon recht nahe. Schau Dir dann nur noch an, was herauskommen soll und was die jetzige Form von der zu erzielenden unterscheidet.

15.01.2015, 08:30

wiederholung

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ich weiss dass linkks unter dem bruch einmal (2n+3) stehen bleiben muss. das andere kann ich wegkürzen. dann passt ja oben, dort steht dann n+1 aber unten steht immer noch (2n+1)+(2n+1).
Wie dass dann aber wegkommen soll ist mir ein rätsel

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15.01.2015, 08:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von wiederholung
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k \frac{1}{(2k-1)}\frac{1}{(2k+1)}= \frac{n}{2n+1} \end{eqnarray*}$

Allem Anschein nach meinst du eher

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)}\frac{1}{(2k+1)}= \frac{n}{2n+1} \end{eqnarray*}$ ,

es sollte wenigstens einmal richtig dastehen.

15.01.2015, 08:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von wiederholung
ich weiss dass linkks unter dem bruch einmal (2n+3) stehen bleiben muss. das andere kann ich wegkürzen. dann passt ja oben, dort steht dann n+1 aber unten steht immer noch (2n+1)+(2n+1).
Wie dass dann aber wegkommen soll ist mir ein rätsel

Verstehe nicht dein Problem. Was hast du denn jetzt bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} + \frac{n(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)} \end{eqnarray*}$ gerechnet?

15.01.2015, 08:51

wiederholung

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ich hätte das (2n+3) einmal im zähler und einmal im nenner weggestrichen - dann bleibt aber im nenner noch zweimal (2n+1) und wie ich das wegbekomme ist mein problem.
wenn diese beiden ausdrücke weg wären, wäre ich ja fertig.

15.01.2015, 08:54

klarsoweit

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Solange du nicht konkret postest, was du rechnest, kann man dir keine substantiellen Antworten geben. Jetzt addiere mal die beiden Brüche und poste, was da rauskommt.

15.01.2015, 09:43

wiederholung

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also ich hätte jetzt hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} + \frac{n(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)} \end{eqnarray*}$

im zähler und nenner (2n+3) gekürzt - sodass dann noch

$\begin{eqnarray*} \frac{1+n}{(2n+1)(2n+3)+(2n+1)} \end{eqnarray*}$ habe.

und hier weiss ich nicht was ich dann mit den (2n+1) machen soll.

15.01.2015, 09:55

klarsoweit

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Was ist denn das für eine merkwürdige Art, Brüche zu addieren? verwirrt

verwirrt

Merke: bei Addition von Brüchen mit gleichen Nennern werden die Zähler addiert und der Nenner beibehalten. Ohnehin kann man Brüche nur dann addieren, wenn die Nenner gleich sind.

15.01.2015, 09:59

wiederholung

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mein problem liegt wohl darin dass ich schon mein ganzes leben lang probleme mit brüchen habe...

aber oben würde dann doch nur

1+n(2n+3) stehen oder?

danke für eure geduld mit mir

15.01.2015, 10:33

klarsoweit

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OK. Also haben wir dieses:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} + \frac{n(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{1+n(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)} \end{eqnarray*}$

Jetzt schauen wir nochmal, wo wir hin wollen. Vorteilhaft wäre es, wenn wir nun im Zähler (n+1) * (2n+1) hätten. Dann könnte man das (2n+1) kürzen und hätte das Ziel erreicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.01.2015, 16:19

wiederholung

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danke.. jetzt muss ich den ausdruck der im zähler steht also irgendwie auf (2n+1) bringen, damit ich ihn weggkürzen kann. und dann nur noch n+1 übrig bleibt. richtig?

16.01.2015, 08:57

klarsoweit

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Im Prinzip ja. Wie ich schon sagte, wäre es gut, wenn im Zähler (n+1) * (2n+1) stünde. Also könnte man doch mal prüfen, ob nicht zufälligerweise 1 + n*(2n+3) = (n+1) * (2n+1) ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.01.2015, 11:08

wiederholung

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vielen dank habt mir echt weitergeholfen

Gott

Gott

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