Gaußscher Integralsatz

15.01.2015, 16:20

alex2007

Gaußscher Integralsatz

Aufgabe:

Der Fluss des Vektorfeldes $\begin{eqnarray*} \frac{\vec r}{r^3} \end{eqnarray*}$ durch eine Kugel um r=0 mit Radius R>0 ist gleich $\begin{eqnarray*} 4\pi \end{eqnarray*}$ (bitte nachrechnen). Andererseits berechnet sich die Divergenz zu:

$\begin{eqnarray*} \vec \nabla \frac{\vec r}{r^3} = 0 \end{eqnarray*}$

Ist der Gaußsche Satz verletzt?

Meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} \vec f =\frac{\vec r}{r^3} \end{eqnarray*}$

Berechnung des Flusses:

$\begin{eqnarray*} \oint \vec f d\vec A=\oint \frac{\vec r}{r^3} d\vec A = \oint \frac{\vec {e}_r}{r^2} dA \vec {e}_r = 4\pi r^2 \frac{1}{r^2} = 4\pi \end{eqnarray*}$

Gaußscher Satz:

$\begin{eqnarray*} \int_V \vec \nabla \vec f dV = \oint \vec f d\vec A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_V 0 dV = \oint \vec f d\vec A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_V 0 dV =4\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C =4\pi \end{eqnarray*}$

--> Gaußscher Satz nicht verletzt, da das Volumeningral auf der linken Seite eine Konstante vorraussagt und das Oberflächenintegral rechts eine konstante als Lösung hat.

Stimmt das von der Vorgehensweise her?

18.01.2015, 00:01

Che Netzer

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RE: Gaußscher Integralsatz

Zitat:

Original von alex2007
$\begin{eqnarray*} \oint \vec f d\vec A=\oint \frac{\vec r}{r^3} d\vec A = \oint \frac{\vec {e}_r}{r^2} dA \vec {e}_r = 4\pi r^2 \frac{1}{r^2} = 4\pi \end{eqnarray*}$

Im vorletzten Ausdruck sollte es $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ heißen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} C =4\pi \end{eqnarray*}$

--> Gaußscher Satz nicht verletzt, da das Volumeningral auf der linken Seite eine Konstante vorraussagt und das Oberflächenintegral rechts eine konstante als Lösung hat.

Ein Volumenintegral kannst du dir als "bestimmtes Integral" vorstellen: Das Integrationsgebiet ist fest vorgegeben; es gibt keine Konstante hinzuschreiben.
Wenn du Null über das Volumen $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ integrierst, erhältst du tatsächlich Null.

20.01.2015, 10:54

alex2007

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RE: Gaußscher Integralsatz
Stimmt, Richtig muss es heißen:

Berechnung des Flusses durch Kugel mit Radius R:

$\begin{eqnarray*} \oint \vec f(\vec R) d\vec A=\oint \frac{\vec R}{R^3} d\vec A = \oint \frac{R\vec {e}_r}{R^3} dA \vec {e}_r = 4\pi R^2 \frac{1}{R^2} = 4\pi \end{eqnarray*}$

Du sagst, das Volumenintegral über 0 ist tatsächlich 0. D.h, es gilt:

Gaußscher Satz:

$\begin{eqnarray*} \int_V \vec \nabla \vec f dV = \oint \vec f d\vec A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_V 0 dV = \oint \vec f d\vec A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_V 0 dV =4\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=4\pi \end{eqnarray*}$ WIDERSPRUCH!

D.h. der Gaußsche Satz ist hier verletzt. Wieso, weshalb, warum wäre jetzt die Frage, die sich mir stellt! Kannst du mir sagen, was der Grund hierfür ist?

Danke im Voraus

20.01.2015, 11:10

Complexi

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Wie genau lautet der Satz denn?

20.01.2015, 11:25

alex2007

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Zitat:

Original von Complexi
Wie genau lautet der Satz denn?

Ahhh, es muss also an den Bedingungen hängen. Belibt ja nur die stetige Differenzierbarkeit.

Das Vektorfeld ist hier differenzierbar, da jede komponente partiell differenzierbar ist. Allerdings sind die partiellen Ableitungen der Komoponenten nicht stetig in r=0, welcher auf zum gesamten Raumvolumen, über welches integriert wird, gehört. Demnach ist das Vektorfeld nicht stetig diffenrenzierbar und erfüllt den Gaußschen Satz auch nicht. Richtig?

20.01.2015, 14:24

Complexi

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Ja, das Vektorfeld ist ja im Nullpunkt noch nicht einmal definiert, also auch nicht stetig differenzierbar. smile

20.01.2015, 17:10

alex2007

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Danke dir. Da hab ich gleich mal noch eine weitere Aufgabe bezüglich des Gaußschen Satzes.

Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ sei ein konstanter Vekotr, $\begin{eqnarray*} \vec r \end{eqnarray*}$ der Ortsvektor, O die Geschlossene Oberfläche eines Volumens. Begründen Sie die folgenden Identitäten:

(i) $\begin{eqnarray*} \oint \vec a d\vec f =0 \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} \oint d\vec f =0 \end{eqnarray*}$

(iii) $\begin{eqnarray*} \oint (\vec a \times \vec r) d\vec f =0 \end{eqnarray*}$

(iv) $\begin{eqnarray*} \oint \vec r \times d\vec f =0 \end{eqnarray*}$

Meine Lösung

(i) $\begin{eqnarray*} \oint \vec a d\vec f = \int \vec \nabla \vec a dV = \int 0 dV = 0 \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} \oint d\vec f = \oint 1d\vec f = \int \vec\nabla 1 dV = \int 0 dV = 0 \end{eqnarray*}$

(iii) $\begin{eqnarray*} \oint (\vec a \times \vec r) d\vec f = \int \vec \nabla (\vec a \times \vec r) dV = \int \vec r \left(\vec\nabla \times \vec a \right) - \vec a \left(\vec\nabla \times \vec r \right)dV = \int 0 dV = 0 \end{eqnarray*}$

Stimmt das erstmal so?

Was muss ich bei der (iv) machen? Da stehe ich irgendwie auf dem Schlauch.

21.01.2015, 15:06

alex2007

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Kann bitte nochmal jemand drüberschauen und mir den entsprechenden Hinweis für (iv) geben.

Meine Idee wäre noch zu sagen, das ja gilt:

$\begin{eqnarray*} d\vec f = df \vec e_n \end{eqnarray*}$

wobei es sich um den Normaleneinheitsvektor der Fläche f handelt. Dieser ist konstant und deswegen verschwindet seine Rotation analog zum Beispiel (iii)

Also:

$\begin{eqnarray*} \oint \vec r \times d\vec f = \oint \vec r \times df \vec e_n = \oint \left( \vec r \times \vec e_n\right)df = \int \vec \nabla\left(\vec r \times \vec e_n\right) dV =\int \vec e_n\left(\vec \nabla \times\vec r \right) - \vec r\left(\vec \nabla \times\vec e_n \right) dV =\int 0 dV = 0 \end{eqnarray*}$

Ist dass die richtige Idee und Begründung?

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