Darstellungsmatrix von f bezüglich Basen

15.01.2015, 16:22

Shinobi.Master

Darstellungsmatrix von f bezüglich Basen

Hallo Mathefreunde,

ich habe eine vermutlich einfache Aufgabe für euch, bei der ich mir noch unsicher bin.

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Sei $\begin{eqnarray*} M = \{(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix})\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung, mit

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ .

b) Jetzt seien $\begin{eqnarray*} N = \{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ , A und B die kanonischen
Basen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ .

Bestimmen Sie:

(i) Die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} D_{MN}(f) \end{eqnarray*}$ von f bezüglich der Basen M und N.
(ii) Die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} D_{AN}(f) \end{eqnarray*}$ von f bezüglich der Basen A und N.
(iii) Die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} D_{AB}(f) \end{eqnarray*}$ von f bezüglich der Basen A und B.

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Zu a) muss ich doch nur die lineare Funktion f herausfinden, um dann die beiden kleinen Matrizen Abbilden zu können, richtig?
Wie mache ich das ohne heuristische Methoden?

Zu b) frage ich mich gerade... Was sind die kanonischen Basen A und B hier in dieser Aufgabe? Sind das etwa die hier:

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Oder was ist damit gemeint?

Und wie bestimme ich dann die Darstellungsmatrizen?

15.01.2015, 17:23

Shinobi.Master

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Also zu b) hab ich immerhin schon herausgefunden das die Kanonische Basis von $\begin{eqnarray*} A = \{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$ ist und von $\begin{eqnarray*} B = \{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$ ist.

Aber um die Darstellungsmatrizen zu zaubern fehlt mir immer noch die Lineare Abbildung f oder?

15.01.2015, 17:41

Shinobi.Master

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Ich habe mal ein bisschen herumprobiert, heuristischer Natur, und kam auf die Abbildung $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^4 , \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} x_1 \\ |x_2| \\ |x_2 - x_1|:2 \\ |x_2 - x_1|:2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wäre das eine gültige LINEARE Abbildung für die das gilt:

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

16.01.2015, 09:17

klarsoweit

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Zitat:

Original von Shinobi.Master
Zu a) muss ich doch nur die lineare Funktion f herausfinden, um dann die beiden kleinen Matrizen Abbilden zu können, richtig?

Was verstehst du unter "um dann die beiden kleinen Matrizen Abbilden zu können"?

Am besten gehst du so vor: stelle die Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dar. Dann kannst du Linearität von f und die vorgegebenen Werte nutzen.

Zitat:

Original von Shinobi.Master
Und wie bestimme ich dann die Darstellungsmatrizen?

Wie sonst auch: bestimme die Bilder der Basisvektoren und stelle diese als Linearkombination in der Basis des Bildraums dar.

Zitat:

Original von Shinobi.Master
Ich habe mal ein bisschen herumprobiert, heuristischer Natur, und kam auf die Abbildung $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^4 , \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} x_1 \\ |x_2| \\ |x_2 - x_1|:2 \\ |x_2 - x_1|:2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wäre das eine gültige LINEARE Abbildung

Wie man leicht sieht, ist die Abbildung nicht linear, denn es gilt $\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Es müßte nun $\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}) + f(\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein, was aber offensichtlich nicht der Fall ist.

16.01.2015, 17:19

Shinobi.Master

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Also quasi so:

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix})=0,5 \cdot f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}) + 0,5 \cdot f(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}) = 0,5 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ 0,5 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0,5 \\ 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix})=0,5 \cdot f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}) - 0,5 \cdot f(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}) = 0,5 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}- 0,5 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -0,5 \\ -0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn das richtig ist dann vielen Dank für die Info Wink

Die Darstellungsmatritzen habe ich mittlerweile hinbekommen Big Laugh

16.01.2015, 19:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von Shinobi.Master
Wenn das richtig ist dann vielen Dank für die Info Wink

Gerne.

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