Stochastische Unabhängigkeit und unabhängige Familie

15.01.2015, 16:23	Hallagar	Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastische Unabhängigkeit und unabhängige Familie Meine Frage: Moin moin. Ich war gerade am Lernen für meine bevorstehende Stochastik-Klausur und habe eine Übungsaufgabe dazu bearbeitet. Diese lautete: Konstruieren Sie ein Gegenbeispiel zu folgender Aussage: Es sei $\begin{eqnarray} (\Omega, \mathcal{A}, \mathcal{P}) \end{eqnarray}$ ein Warscheinlichkeitsraum. Dann ist für alle paarweise unabhängigen Ereignisse $\begin{eqnarray} A,B,C \in \mathcal{A} \end{eqnarray}$ die Familie $\begin{eqnarray} \left\{ A,B,C\right\} \end{eqnarray}$ eine Familie unabhängiger Ereignisse. Mit paarweise unabhängig ist hier gemeint, dass A und B unabhängig, A und C unabhängig und B und C unabhängig sind. Meine Ideen: Ich hab jetzt bestimmt schon 20 Minuten darauf rumgegrübelt und so wirklich was eingefallen ist mir nicht (aus dem Skript konnte ich auch nichts entnehmen). Dann hatte ich eine Idee, aber ich glaube die ist blödsinn. Sei $\begin{eqnarray} A = B^C \end{eqnarray}$ Komplement, dann wäre ja $\begin{eqnarray} P(A \cap B) = P(B^C \cap B) = 0 \end{eqnarray}$ . Aber dann wären A und B auch nicht mehr stochastisch voneinanander unabhängig, oder? Denn für den Fall, dass dann entweder $\begin{eqnarray} B = 0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} B = 1 \end{eqnarray}$ wäre ja zum Beispiel bei $\begin{eqnarray} B = 0,5 \end{eqnarray}$ die Warscheinlichkeit $\begin{eqnarray} P(A \cap B) = 0,25 \end{eqnarray}$ ... Aber das ist ja ein Widerspruch, denn Es kann ja nicht gleichzeitig ein Ereignis und dessen Gegenereignis eintreten, oder nicht? Wenn das so aber ginge, dann wäre ja, wenn zum Beispiel $\begin{eqnarray} P(C) = 0,4 \end{eqnarray}$ ist, müsste ja nach Definition der unabhängigen Familie $\begin{eqnarray} P(A \cap B \cap C) = 0,5 0,5 * 0,4 = 0,1 \end{eqnarray}$ sein, aber da A und B sich gegenseitig ausschließen wäre $\begin{eqnarray} P(A \cap B \cap C) = 0 \end{eqnarray*}$ . Damit hätte ich ein Gegenbeispiel. Aber nur, wenn denn A und B überhaupt noch stochastisch unabhängig voneinander sind (wovon ich eigentlich nicht ausgehe). Ich wäre dankbar für jegliche Hilfe. Viele Grüße, Hallagar.
15.01.2015, 16:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, das ist eines dieser Probleme, wo man als Neuling vielleicht einfach nicht draufkommt - aber sich beim genauen Anschauen der Wirkungsweise eines Beispiels vielleicht doch ein "Aha-Effekt" einstellt: Unabhängigkeit von drei Mengen
15.01.2015, 16:46	Hallagar	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh man, stimmt... eigentlich ziemlich offensichtlich. ... Danke für die Hilfe, hab's mir gleich mal aufgeschrieben, damit ich das nicht mehr vergesse!

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