Komplexaufgaben Analysis "Ganzrationale Funktionen" |
| 15.01.2015, 18:49 | sachtelmaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Komplexaufgaben Analysis "Ganzrationale Funktionen" Hallo! (: ich schreibe im April mein Abitur und Mathe bereitet mir dabei ganz schön Probleme. Heute haben wir eine Hausaufgabe aufbekommen, die mich seit Stunden verzweifeln lässt. Genau genommen sind es 4 Aufgaben. Hier die Aufgaben: Gegeben ist die Funktion f durch f(x)=-x³+3x+2. Die Funktion besitzt einen Wendepunkt bei W(0;2)und eine Wendetangente mit y=3x+2. Der Graph der Funktion und die x-Achse schließen vollständig eine Fläche A (Flächeninhalt: 6,75) ein. 1) Die Normale n im Wendepunkt W zum Graph teilt die Fläche A. Bestimmen Sie die geradengleichung von n. Berechnen Sie, in welchem Verhältnis die Normale n die Fläche A teilt. 2) Die Gerade g verläuft durch den Wendepunkt W und schneidet den Graph im Punkt P(xp;f(xp)) (0<xp<2). Berechnen Sie, für welchen Wert von xp die Gerade g die in Fläche A halbiert. (nein ich verstehe diese Aufgabenstellung auch nicht...) 3) Der Graph der quadratischen funktion h besitzt bei x=1 eine waagerechte Tangente und berührt bei x=-0,5 den Graphen. Bestimmen Sie die allgemeine Form der quadratischen Funktion. 4)Die Gerade i schneidet den Graphen in seinem Hochpunkt H(1;4) und ist gleichzeitig in einem weiteren Punkt B Tangente an den Grapf. Berechnen Sie die Geradengleichung von i. Meine Ideen: sooo..ich hab wirklich überhaupt keine Ahnung wie ich diese Aufgaben lösen soll, geschweige denn an sie herangehen soll. Es wäre echt toll wenn mir jemand helfen könnte! Danke schonmal im voraus. |
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| 15.01.2015, 21:15 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo sachtelmaus und willkommen im Matheboard 
Da es sich hier um eine relativ umfangreiche Aufgabe handelt, wäre es schön, wenn du zu den einzelnen Aufgaben beschreiben würdest, was genau dir unklar ist. Irgendeinen Gedanken zu der jeweiligen Aufgabe wirst du sicher haben und sogar der interessiert uns. 
Von daher: Bitte füttere uns etwas mehr mit deinen Gedanken und Problemen, dann kann man dir gezielter helfen. 
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| 15.01.2015, 21:44 | Widderchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo sachtelmaus, zu 1) : Die Wendetangente bzw. ihre Funktionsgleichung im Wendepunkt W(2,0) ist dir bekannt. Die Normale steht senkrecht zur Wendetangente im Punkt W(2,0). Ich denke mit dieser Information sollte es dir möglich sein, die Funktionsgleichung der Normalen n aufzustellen. Mach dir insbesondere klar, wie man die Steigung einer Normalen bestimmt. Dazu hast du bestimmt eine Formel kennengelernt, mit der man das Verhältnis der Steigung der Normalen und der Steigung der Wendetangente selbst ausdrücken kann..... Und wenn du die Steigung ermittelt hast, kannst du auch problemlos den Achsenabschnitt der Normalen ermitteln. In diesem Fall entspricht der Achsenabschnitt der Normalen dem Achsenabschnitt der Wendetangente. Denk dran, die Normale verläuft ebenfalls durch den Wendepunkt W. Wenn du die Funktionsgleichung der Normalen ermittelt hast, kannst du die Fläche ermitteln, die von der Normalen n, der x-Achse und dem Graph von f eingeschlossen wird. Daraus ergibt sich dann das Verhältnis dieser kleinen Fläche zur Gesamtfläche A (6,75 Flächeneinheiten). So ich denke das genügt erst. 
Viele Grüße Widderchen |
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| 15.01.2015, 21:55 | sachtelmaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1) Also zu der ersten Aufgabe habe ich mit der Tangente und dem Wendepunkt eine Normalengleichung aufgestellt: y=-1/3x+2. ich hoffe die ist korrekt so 
Nur wie es jetzt weiter geht, weiß ich nicht so recht. Ich habe ja den gesamten Flächeninhalt der Fläche schon errechnet (6,75) und theoretisch müsste ich jetzt nur rauskriegen, wie dier Flächeninhalte der beiden Teilflächen sind, denn die gesamte Fläche wurde ja durch die Normale geteilt. Ich hab das mal aufgezeichnet und da sieht es so aus, als würde die Normale die Fläche halbieren. Mein Problem ist jetzt die Flächeninhalte der Teilflächen (nennen wir sie A1 und A2) zu berechnen. Ich weiß ich muss irgendwie integrieren aber ich weiß nicht wie 
2) Bei der zweiten Aufgabe habe ich mir überlegt dass, ich den Flächeninhalte halbiere, sodass der bei 3,375 liegt. Jetzt ist mir der weitere Lösungsansatz jedoch ein Rätsel.. 3) Hierzu habe ich den Schnittpunkt der quadratischen Funktion mit dem Graphen errechnet, indem ich die -0,5 in f(x) eingesetzt habe. so ist der Schnittpunkt nun S(-0,5; 5/8). Nur was fange ich mit der Angabe der Tangente an? 4) Eine Geradengleichung lautet ja immer y=mx+n. Müsste ich jetzt einfach nur den Hochpunkt einsetzen und für m f'(1) bilden? Das erscheint mir irgendwie viel zu einfach 
und da stört mich auch schon wieder diese Tangente. Ich weiß zwar wie man eine Tangentengleichung aufstellt, doch trotzdem weiß ich nie etwas mit diesen Tangenten anzufangen.. Ich hoffe ihr könnt mit meinen Ansätzen etwas anfangen
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| 15.01.2015, 22:43 | Widderchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zu 1): Um diese Integrale zu berechnen, benötigst du noch die Nullstelle der Normalen n. Dann kannst du die Teiliflächen berechnen, eine dieser Teilflächen ist sogar ein Dreieck. Die Normalengleichung ist absolut richtig.
Sehr gut!zu 2): Die Nullstellen von f lauten doch P(-1/0) und Q(2/0). Jetzt berechne das Teilintegral der Funktion f von -1 bis 0. Das ist schon mal ein Teilintegral. Das zweite Teilintegral bildest du von der Stelle 0 bis zur Stelle xp , allerdings dann von der Funktion g. Da xp zwischen 0 und 2 liegt, wird das letzte Teilintegral von f zwischen xp und 2 berechnet. Die Summe dieser Teilintegrale ergibt dann, wie du richtig gesagt hast, die Hälfte von 6,75, also 3,375. Daraus sollltest du die Stelle xp ermitteln können, sodass der Graph g die Fläche A halbiert. zu 3) Wenn die quadratische Funktion q(x) = ax^2 + bx + c eine waagerechte Tangente in x = 1 hat, was bedeutet das?? Was ist eine waagerechte Tangente denn? Der Graph der Funktion q ist offenbar eine Parabel. Wo besitzt eine Parabel immer eine waagerechte Tangente???? Ja, genau, du hast bereits den Schnittpunkt der Parabel und vom Graphen von f ermittelt. Nun musst du diesen Punkt auch in die oben genannte allgmeine quadratische Form einsetzen. Nun berührt aber der Graph von q den Graphen von f auch an der Stelle -0,5 . Was bedeutet das denn nochmal?? zu 4) Naja, um eine Geradengleichung aufzustellen, benötigt man bekanntlich immer zwei Punkte, denn dann kannst du problemlos die Steigung der Geraden ermitteln.... und dann auch den Achsenabschnitt. Dir sollte klar sein, dass f´(1) = 0 gilt, da x = 1 eine Extremstelle von f ist, klar so weit??? Viele Grüße Widderchen |
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| 15.01.2015, 23:35 | sachtelmaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Könntest du mir bitte die kompletten Lösungen erklären? Ich stell mich ziemlich doof an 
Danke widderchen dass du dir die Zeit nimmst und mir hilfst!
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| 16.01.2015, 03:58 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum denn das ?
Nullstellen sind nur die x-Koordinaten, keine Punkte. zu 1) Hier sollte man zunächst die Schnittstellen des Graphen von f mit der Normalen n bestimmen ----> f(x)=n(x). Danach dann einfach die Fläche A1 zwischen diesen beiden Graphen durch bestimmen. Die andere Teilfläche A2 ergibt sich dann ja einfach aus A-A1. zu 2) Das kann man ähnlich wie 1) machen, nur mit g(x)=mx+2 und somit durch die Integralgleichung Leider kommen bei den beiden Aufgaben (besonders bei der zweiten) ganz schöne Dreckszahlen am Ende raus, aber ich habe es getestet, diese blöden Werte kommen tatsächlich raus. Schade, dass die Aufgabensteller nicht etwas motivierter waren, hier für schönere Zahlen zu sorgen. Zum Schluss noch eine Skizze zum Sachverhalt: |
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| 17.01.2015, 11:40 | sachtelmaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie soll ich bei 2.das Integral rechnen wenn die Gleichung von g mx+2 lautet? Das m stört doch? |
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| 17.01.2015, 11:49 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aufgabe 1 hast du nun hinbekommen und bist auf das Teilergebnis für A1 (welches du in der Skizze ebenso zur Kontrolle sehen kannst) gekommen ? Hast du die Schnittstellen bei Aufgabe 2 schon berechnet ? Das m wird die ganze Zeit mitgeschleppt, denn letzten Endes musst du die von mir gepostete Integralgleichung nach m auflösen. |
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| 17.01.2015, 12:03 | sachtelmaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bin bei 1.zu einem Verhältnis von 1,4 gekommen? Stimmt das so? Aber ich will doch xp am ende als Ergebnis haben und nicht m? Xp schleppe ich ja auch mit die ganze zeit und mit 2 variablen kann ich es doch nicht lösen |
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| 17.01.2015, 12:18 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Denk dran, dass ein Verhältnis immer ein Quotient ist, also sowas wie 2:1. Wenn du den Wert für m hast, dann bekommst du auch leicht dein xp (durch einsetzen in die von m abhängige Schnittstelle) Was sind denn deine Schnittstellen bei Aufgabe 2 ? |
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| 17.01.2015, 12:27 | sachtelmaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Könntest du mir vielleicht die Schnittstellen verraten? Ich bin mir sehr unsicher weil die kubische Gleichung ja auch nicht so einfach zu lösen ist
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| 17.01.2015, 12:35 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast recht, im Allgemeinen können kubische Gleichungen auch mal etwas unangenehm werden. Diese hier verhält sich aber noch ganz freundlich. 
-x³+3x+2=mx+2 Wenn du auf beiden Seiten die 2 subrahierst, dann bist du sie los und wenn du dann auch noch mx auf die andere Seite bringst und etwas zusammenfasst, dann hast du nur noch -x³+(3-m)x=0 Und hier kannst du dann x ausklammern. Weißt du, wie es dann weiter geht ? |
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| 17.01.2015, 13:51 | sachtelmaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist x die Wurzel aus 3-m? |
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| 17.01.2015, 14:11 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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(zumindest die zweite in Frage kommende Schnittstelle ist das) Damit geht es also nun darum, die Gleichung nach m aufzulösen. Wenn du den Wert für m hast, dann ist eben |
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| 18.01.2015, 14:59 | sachtelmaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bitte sag mir dass xp 1,9 ist 
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| 18.01.2015, 16:53 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schau doch mal auf die von mir angehängte Skizze, da kannst du ALLE Ergebnisse sehen.
Oder kommst du mit der Skizze nicht zurecht ? |
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| 18.01.2015, 18:33 | sachtelmaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Doch deine Skizze ist sehr hilfreich! Danke
Nur wie komme ich auf die Gleichung von h(x) und wie komme ich auf die Gleichung von i ? Das sind jetzt noch die einzigen beiden Sorgenkinder
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| 18.01.2015, 18:45 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Bestimmung der quadratischen Funktion h(x)=ax²+bx+c ist eine so genannte Steckbriefaufgabe. Da es hier mit a,b und c genau 3 Unbekannte gibt, läuft es darauf hinaus, dass du aus dem Aufgabentext auch 3 Bedingungen (Gleichungen) aufstellen musst. Mit deinem bestimmten Punkt B(-0,5|0,625) lautet eine Gleichung schonmal h(-0,5)=0,625 <=> a*(-0,5)²+b*(-0,5)+c=0,625 Es fehlen noch 2 weitere Gleichungen. Eine davon erhältst du dadurch, dass die beiden Graphen sich in B ja nicht schneiden, sondern berühren sollen. Von daher müssen in x=-0,5 auch die Steigungen der beiden Graphen übereinstimmen (und nicht nur die y-Werte). Und dass in x=1 eine waagerechte (also zur x-Achse parallele) Tangente vorliegen soll, verrät dir zudem auch noch die Steigung in x=1, denn h'(1) ist damit ? |
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| 18.01.2015, 19:13 | sachtelmaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie ermittle ich denn den Punkt B? Zuvor ist doch nie die Rede von diesem Punkt? 
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| 18.01.2015, 19:16 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Den Punkt hast du selbst doch schon als gemeinsamen Punkt von Parabel zu h(x) und Graph von f(x) ermittelt gehabt:
Ich habe den Punkt nur B (wie Berührpunkt) und nicht S (wie Schnittpunkt) genannt. |
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| 19.01.2015, 16:22 | sachtelmaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie sehen jetzt nochmal die drei Bedingungen genau aus? |
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| 19.01.2015, 17:08 | sachtelmaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay ich habe jetzt alles einfandfrei lösen können! Vielen Dank für deine Hilfe Bjoern1982
Alleine wäre ich wirklich aufgeschmissen gewesen
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| 20.01.2015, 12:26 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Freut mich, dass du es hinbekommen hast.
Aufgabe 4) ist auch klar ? Mit welchem Ansatz hast du die gelöst ? |
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