Dirac'sche Deltafunktion

15.01.2015, 20:18	ThreeJay	Auf diesen Beitrag antworten »
Dirac'sche Deltafunktion Hallo zusammen, ich bin gerade dabei folgende Aufgabe zu rechnen: Die $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ -Funktion kann beschrieben werden als: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^\infty \! f(x)\delta(x) \, dx=f(0) \end{eqnarray}$ (mit f(x) stetig in der Umgebung um 0) a) Zeigen Sie, dass die folgende Funktionsfolge $\begin{eqnarray} \delta_{a}(x)=\frac{1}{a\sqrt{\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{a^{2}}} \end{eqnarray}$ im Limes $\begin{eqnarray} {\lim_{a \to 0} \delta_{a}(x)} \to \delta(x) \end{eqnarray}$ obige Eigenschaft erfüllt. b) Beweisen Sie die folgende Relation: $\begin{eqnarray} \lim_{a \to 0} \int \! f(x)\frac{d}{dx}\delta_{a}(x) \, dx=-f^{'}(0) \end{eqnarray}$ Bei der b) hab ich folgendes berechnet: $\begin{eqnarray} \lim_{a \to 0} \int \! f(x)\delta_{a}(x) \, dx=\left[f(x)\cdot\frac{1}{a\sqrt{\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{a^{2}}}\right]_{-\infty}^{\infty}-\int \! f^{'}(x)\cdot\frac{1}{a\sqrt{\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{a^{2}}} \, dx \end{eqnarray}$ Dadurch, dass a gegen Null läuft und aufgrund der Integrationsgrenzen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ des ersten Teils $\begin{eqnarray} f(x)\cdot\frac{1}{a\sqrt{\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{a^{2}}} \end{eqnarray}$ , muss dieser Null ergeben. Leider bereiten mir deren Lösung einige Probleme. Ich würde mich daher sehr freuen, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte. Für Eure Antworten bedanke ich mich bereits im Voraus recht herzlich. LG ThreeJay
16.01.2015, 05:05	Complexi	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Beweis von a) dürfte hier der knifflige Part sein. Für b) kannst du a)verwenden.

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