Integral trigonometrische Wurzelfunktion

15.01.2015, 21:03

mathesteven

Integral trigonometrische Wurzelfunktion

Hallo,

ich versuche folgendes Integral durch Substitution zu lösen, allerdings finde ich keinen geeigneten Ansatz für die Substitution.

$\begin{eqnarray*} s=\int \sqrt {1+\frac{cos^2(x)}{sin^2(x)}} dx \end{eqnarray*}$

Ich dachte zuerst man könnte $\begin{eqnarray*} u=\frac{cos(x)}{sin(x)} \end{eqnarray*}$ zum substituieren nutzen, allerdings bleibt dann ein "Rest" übrig, der sich nicht wegkürzen lässt.

$\begin{eqnarray*} s=\int \sqrt {1+u^2} -sin^2(x) du \end{eqnarray*}$

Eine andere Idee war die Umformung des Integrals mittels $\begin{eqnarray*} cos^2(x)+sin^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ zu

$\begin{eqnarray*} s=\int \sqrt {\frac{1}{sin^2(x)}} dx \end{eqnarray*}$

aber das bringt mich irgendwie nicht weiter, da man nicht so einfach die Wurzel ziehen kann (Betragsfunktion). Ein weiterer Ansatz wäre eventuell irgendeine Umformung der trigonometrischen Funktionen mit Hilfe der $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ Funktion, aber dazu fehlt mir eine zündende Idee.

Welche Substitution bzw. Ansatz wäre hierfür geeignet?

Viele Grüße

Steven

15.01.2015, 21:11

HAL 9000

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Nun, vielleich erstmal vereinfachen:

$\begin{align*} \sqrt{1+\frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}} = \sqrt{\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^2(x)}} = \sqrt{\frac{1}{\sin^2(x)}} = \frac{1}{|\sin(x)|} \end{align*}$ .

Und dann hilft - wie so oft bei trigonometrischen Ausdrücken - die Weierstraß-Substitution (bisweilen auch als Generalsubstitution bekannt).

15.01.2015, 21:20

grosserloewe

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alternativ

Substitution

z= cot(x)

---->dann erhälst Du ein Grundintegral

$\begin{eqnarray*} - \int \frac{1}{\sqrt{z^2+1} } \, dz \end{eqnarray*}$

das ist ein bekanntes Grundintegral

:-) Viel Spaß

15.01.2015, 22:16

mathesteven

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Vielen Dank ihr beiden.

@HAL 9000:
Die Weierstraß Substitution kannte ich bis dato noch nicht. Da ich mir etwas unsicher war, was mit der Betragsfunktion beim sinus geschieht, habe ich die Substitution direkt für cot vorgenommen (und hinter für sin auch ausprobiert)

Jetzt bekomme ich als Ergebnis beides mal

$\begin{eqnarray*} ln(sin(\frac{x}{2})-ln(cos(\frac{x}{2})) \end{eqnarray*}$

Verglichen mit dem Ergebnis von Mathematica fehlt noch der Faktor $\begin{eqnarray*} \sqrt{Csc(x)^2} sin(x) \end{eqnarray*}$ vor dem Ergebnis, allerdings ergibt sich $\begin{eqnarray*} \sqrt{Csc(x)^2} sin(x) = \sqrt{Csc(x)^2} \sqrt{sin(x)^2}=\sqrt{1/sin(x)^2 *sin(x)^2}=1 \end{eqnarray*}$ , so dass mein Ergebnis zu stimmen scheint. (Weshalb Mathematica auch immer einen Vorfaktor beibehält)

@grosserloewe

Ich kann deine Substitution nicht ganz nachvollziehen, kannst du mir mal auf die Sprünge helfen?
Basierend auf dem ursprünglichen Integral

$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{ 1+cot^2(x)} dx \end{eqnarray*}$

verwende ich deine Substitution wie folgt:
$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{ 1+z^2} dx \\<br /> z=cot(x) \\<br /> dz=-\frac{1}{sin^2(x)}dx \\<br /> dx=-sin^2(x) dz \\<br /> \int \sqrt{ 1+z^2} -sin^2(x) dz = -\int \sqrt{ 1+z^2} sin^2(x) dz \end{eqnarray*}$

Was wäre der nächste Schritt in der Umformung, um auf das Integral für den ArcSinh zu kommen?

15.01.2015, 22:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathesteven
Jetzt bekomme ich als Ergebnis beides mal

$\begin{eqnarray*} ln(sin(\frac{x}{2})-ln(cos(\frac{x}{2})) \end{eqnarray*}$

Für bestimmte reelle Intervalle ist das richtig, für andere ist es falsch bzw. sind die Ausdrücke nicht mal definiert.

Vielleicht sagst du mal noch dazu, für welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ du das brauchst? Falls es der gesamte Definitionsbereich ist (d.h. alle $\begin{eqnarray*} x\neq k\pi \end{eqnarray*}$ ), dann musst du nochmal nachbessern.

15.01.2015, 22:23

grosserloewe

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Es gibt allg. die Beziehung:

$\begin{eqnarray*} sin^2(x)= \frac{1}{1 +cot^2(x)} \end{eqnarray*}$

damit kommst Du auf das Integral

smile

15.01.2015, 22:24

mathesteven

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Das Intervall ist beschränkt auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \pi \le x \le \frac{2}{3} \pi \end{eqnarray*}$

15.01.2015, 22:25

HAL 9000

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Glück gehabt, in dem diese Werte umfassenden $\begin{eqnarray*} 0<x<\pi \end{eqnarray*}$ ist es richtig. Augenzwinkern

15.01.2015, 22:58

mathesteven

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@HAL9000

supi, vielen Dank Freude

@grosserloewe

Ich glaube, es ist heute schon zu spät für mich verwirrt

An welcher Stelle muss ich diese Beziehung anwenden?

15.01.2015, 23:04

grosserloewe

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an dieser Stelle:

$\begin{eqnarray*} - \int\sqrt{1 +cot^2(x)} \, *sin^2(x) dz \end{eqnarray*}$

15.01.2015, 23:11

mathesteven

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eieiei

eindeutig zu spät ...

Hatte stets das $\begin{eqnarray*} cot^2(x) \end{eqnarray*}$ in der Wurzel zu $\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ substituiert, aber das darf man in diesem Fall nicht machen

Jetzt ist es klar! smile

Vielen Dank

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