Aus Erwartungswerten und Varianzen von Subskalen einen Gesamtwert errechnen

16.01.2015, 02:14

Holoferna

Aus Erwartungswerten und Varianzen von Subskalen einen Gesamtwert errechnen

Meine Frage:
Hi, ich habe ein Problem mit einer Beispielaufgabe. Es geht um einen Test, in dem es drei Subskalen gibt (x1, x2, x3). Diese werden gewichtet (v1, v2, v3) um einen Gesamtwert zu erhalten. Die Erwartungswerte und Varianzen der drei Subskalen (x1, x2, x3) sind bekannt. Außerdem die Kovarianzen.
Jetzt sollen der Erwartungswert und die Varianz des Gesamtwertes berechnet werden.
Ich weiß nicht, wie ich das rechnen kann, die Gewichtung verwirrt mich noch zusätzlich...

Meine Ideen:
Bei dem Erwarungswert habe ich mir gedacht: Ich gewichte erstmal die Erwartungswerte von x1, x2, x3 sodass ich v1, v2 und v3 erhalte (Also bspw. x1 = 12, die Gewichtung ist 4/6 --> also fällt x1 doppelt ins Gewicht (weil es ja ohne Gewichtung 1/3 wäre) und v1 ist dann 24?!)
Dann addiere ich die drei gewichteten Werte einfach...

Bei der Varianz weiß ich es gar nicht. Muss die Gewichtung da auch beachtet werden? Kann ich die Varianzen einfach addieren? Oder haben die Kovarianzen noch etwas damit zu tun?

Vielen Dank!!

16.01.2015, 09:32

HAL 9000

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Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen Erwartungswert/Varianz

16.01.2015, 11:18

Holoferna

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Ah, okay! Vielen Dank. Also die Summe der Varianzen +2 mal die Summe der Covarianzen. Und die Gewichtungen sind egal... Das ist ja nicht so schwierig Hammer

Danke!

16.01.2015, 15:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von Holoferna
Und die Gewichtungen sind egal

Keine Ahnung, wie du das meinst, aber letztlich sind sie in der Gesamtrechnung natürlich nicht egal. unglücklich

16.01.2015, 16:54

Holoferna

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Achso naja ich wusste halt nicht ob die bei der Varianzrechnung auch was ausmachen, oder nur beim Erwartungswert. Muss ich die Varianzen vor dem Aufsummieren auch gewichten? Und wie mache ich das mit den Kovarianzen?

16.01.2015, 16:57

HAL 9000

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Ich sehe immer nur Fragen (die eigentlich mit dem Link oben beantwortet sind), aber keine Rechnungen.

16.01.2015, 17:25

Holoferna

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Okay... also nehmen wir an die Varianzen sind var1= 2, var2= 3 und var3=4 und die Gewichtungen sind 1: 4/6, 2 und 3: jeweils 1/6

mit V[aX] = a²V[X] muss ich rechnen var1'=2²*2 = 8, var2'= 0,5²*3 = 0,75 und var3' =0,5²*4=1

Dann nehme ich die Formel
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n Var[Xk]+2 \sum\limits_{k=1}^n Cov[Xk,Xj] \end{eqnarray*}$

Dann habe ich für $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n Var[Xk] \end{eqnarray*}$ = 9,75

Das muss ich jetzt mit 2* $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n Cov[Xk,Xj] \end{eqnarray*}$ addieren...

Nehmen wir an, die Covarianzen sind (x1,x2)= 0,5, (x1,x3)=0 und (x2,x3) = 1,2

Die Summe davon ist 1,7

Dann wäre die Rechnung im Endeffekt 9,75 + 3,4 = 13,15
Oder fällt die Gewichtung bei den Covarianzen auch noch ins...Gewicht?

So das war jetzt einfach mal drauf losprobiert verwirrt

16.01.2015, 18:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von Holoferna
Okay... also nehmen wir an die Varianzen sind var1= 2, var2= 3 und var3=4 und die Gewichtungen sind 1: 4/6, 2 und 3: jeweils 1/6

mit V[aX] = a²V[X] muss ich rechnen var1'=2²*2 = 8, var2'= 0,5²*3 = 0,75 und var3' =0,5²*4=1

Versteh ich nicht, wie du mit den genannten Gewichten auf diese Varianzrechnungen kommst. unglücklich

Damit erstmal klar ist, was du mit Gewichtungen meinst: Du betrachtest die Zufallsgröße

$\begin{align*} Y = \frac{4}{6}X_1 + \frac{1}{6}X_2 + \frac{1}{6}X_3 \end{align*}$

mit $\begin{align*} \operatorname{var}(X_1)=2 \end{align*}$ , $\begin{align*} \operatorname{var}(X_2)=3 \end{align*}$ und $\begin{align*} \operatorname{var}(X_3)=4 \end{align*}$ . Ist es das, was du meinst? verwirrt

16.01.2015, 18:21

Holoferna

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ja, im Prinzip schon. Ich meinte halt, dass X1 doppelt ins Gewicht fällt und die anderen beiden jeweils nur zur Hälfte... Weil ohne Gewichtung würde ja jedes zu 1/3 gezählt werden. Also könnte man auch sagen Y = 2X1 + 0,5X2 + 0,5X3

16.01.2015, 18:36

HAL 9000

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Dieser Logik kann ich nicht folgen: Aus welchem Grund multiplizierst du jedes der Gewichte mit 3 - aus reiner Willkür? Ich sehe jedenfalls keinen vernünftigen Grund dafür. unglücklich

16.01.2015, 18:45

Holoferna

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Okay, die Gewichte hab ich mir selbst ausgedacht, das war dann so nicht richtig. also wäre es 0,888+0,08333+0,111 = 1,833333

Wäre dann 1,83333+3,4= 5,233333

16.01.2015, 18:56

HAL 9000

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Die Kovarianzen hatte ich mir noch gar nicht angeschaut. Ok, erstmal alle Daten zusammentragen, damit das wenigstens einmal übersichtlich dasteht:

$\begin{align*} Y = \frac{4}{6}X_1 + \frac{1}{6}X_2 + \frac{1}{6}X_3 \end{align*}$

mit

$\begin{align*} \operatorname{var}(X_1)=2 \end{align*}$ , $\begin{align*} \operatorname{var}(X_2)=3 \end{align*}$ , $\begin{align*} \operatorname{var}(X_3)=4 \end{align*}$

$\begin{align*} \operatorname{cov}(X_1,X_2)=0.5 \end{align*}$ , $\begin{align*} \operatorname{cov}(X_1,X_3)=0 \end{align*}$ , $\begin{align*} \operatorname{var}(X_2,X_3)=1.2 \end{align*}$

In dem Fall hast du dich verrechnet: Die Kovarianz ist dann $\begin{align*} \frac{227}{180} \end{align*}$ . Möglicherweise hast du die Gewichtungsfaktoren bei den Kovarianzen weggelassen: Da gilt

$\begin{align*} \operatorname{cov}(aX,bY) = ab\operatorname{cov}(X,Y) \end{align*}$

16.01.2015, 20:57

Holoferna

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Ja, die Formel kannte ich tatsächlich nicht. Aber irgendwie komme ich nicht auf das Ergebnis, das du geschrieben hast.

cov(aX1,bX2)=abcov(X1,X2)

a=4/6, b= 1/6

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{6} * \frac{1}{6} * 0,5 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{18} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} * \frac{1}{6} * 1,2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{30} \end{eqnarray*}$

Bei (x1,x3) ist die Covarianz dann 0

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{18} + \frac{1}{30} = \frac{4}{45} \end{eqnarray*}$

??

19.01.2015, 22:48

Holoferna

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Wäre echt nett, wenn du noch antwortest, weil ich einfach nicht auf das Ergebnis komme...

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