Taylor-Entwicklung und Lagrangerestglied

16.01.2015, 09:15

panasonic18

Taylor-Entwicklung und Lagrangerestglied

Meine Frage:
Berechnen Sie das Taylorpolynom 3. Ordnung der folgenden Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=cos(\frac{x}{2}+\pi)*\sin(\frac{x+\pi }{2}) \end{eqnarray*}$

Im Entwicklungspunkt x0=0 und zeigen Sie, dass das Lagrangerestglied im intervall $\begin{eqnarray*} \left[0,\pi \right] \end{eqnarray*}$ kleiner ist als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Das Taylorpolynom habe ich bereits entwickelt und damit eigentlich keine probleme gehabt.

Zuerst die Funktion vereinfacht, dann die ersten 3 Ableitungen gebildet und kam auf

$\begin{eqnarray*} T3= 1 + \frac{1}{4} x^2 \end{eqnarray*}$

Für das Restglied benötige ich ja die 4. Ableitung also

$\begin{eqnarray*} \frac{-cos(x)}{2} \end{eqnarray*}$

Das in die Formel von Lagrange eingesetzt ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{-\frac{1}{2}cos(\Im) }{4!} *x^4 \end{eqnarray*}$

Aber wie bringe ich das Intervall von 0 bis Pi mit in die Formel und wie zeige ich, dass es kleiner als 1/3 ist?

Danke schonmal

16.01.2015, 09:24

klarsoweit

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RE: Taylor-Entwicklung und Lagrangerestglied

Zitat:

Original von panasonic18
Zuerst die Funktion vereinfacht, dann die ersten 3 Ableitungen gebildet und kam auf

Kannst du mal von diesem Schritt deine Ergebnisse posten?

16.01.2015, 09:30

panasonic18

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Mit zwei theoremen einmal:

sin(x)*cos(y) = (sin(x-y)+sin(x+y))/2

und dann:

sin(x+y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y)

kam ich auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{-cos(x)}{2}-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Das spuckt auch Wolfram Alpha aus. dann davon die drei Ableitungen :

f'(x)= sin(x)/2

f''(x)= cos(x)/2

f'''(x)= -sind(x)/2

und das dann in Taylor Tn(x) = .... eingesetzt kam ich auf

1+1/4*x^2

16.01.2015, 10:08

klarsoweit

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Hm. Das Taylorpolynom müßte zwar -1 + 1/4*x² lauten, aber mit der Abschätzung habe ich leider im Moment auch keine Idee. traurig

16.01.2015, 10:22

Complexi

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Bestimme das Maximum/Supremum im gegebenen Intervall.
Augenzwinkern

@derBeste: wegen deines "lustigen" beitrags musste ich meinen nochmal eintippen!

Edit opi: Der Beitrag liegt im Papierkorb. Bitte keinen Müll kommentieren!

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