Finde Matrix T, sodass B´ = T*BT eine spezifische Darstellung hat

16.01.2015, 11:29

Widderchen

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Finde Matrix T, sodass B´ = T*BT eine spezifische Darstellung hat

Meine Frage:
Hallo,

gegeben sei die antisymmetrische Matrix

$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 & 5 \\ -2 & 0 & 4 & -1\\ 1 & -4 & 0 & 3 \\ -5 & 1 & -3 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Finde eine umkehrbare Matrix T, sodass B´= T*BT die folgende Form hat:

$\begin{eqnarray*} B´ = \begin{pmatrix} 0_{2} & 1_{2} \\ -1_{2} & 0_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wobei 0_{2} die zweidimensionale Nullmatrix , 1_{2} die zweidimensionale einheitsmatrix ist.

Meine Ideen:
Ich habe soweit die folgende Struktur für B´ durch geeignete Zeilen- und Spaltenoperationen und Vertauschungen erhalten:

$\begin{eqnarray*} B´ = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & -50 & 0 & 0 \\ 50 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} T = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 5 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

allerdings weiß ich nicht wie ich durch weitere Operationen die gewünschte Form von B´ erhalte. kann irgendjemand die bisherigen operationen auf B soweit nachvollziehen. sind diese soweit richtig??

In diesem zusammenhang hatten wir auch antisymmetrische Bilinearformen kennengelernt. dies hängt wohl auch mit der Antisymmetrie der Matrix B zusammen.
Über ein Endresultat für B´ wäre ich auch dankbar.

Mit freundlcihen Grüßen
Widderchen

16.01.2015, 11:49

Complexi

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Weitere ideen für operationen: verwandle alle einträge ungleich 0 in +-1, tausche diese so, dass einheitsmatrizen entstehen.

16.01.2015, 14:18

Widderchen

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Hallo,

ich habe weitergerechnet, bekomme aber den Eindruck, dass ich "im Kreis operiere", sprich sobald ich eine Zahl (z.B. 50 in eine -1) umgewandelt habe, und ich zusätzlich die Zahl -50 in eine -1 umwandeln möchte, das vorige skalar ebenfalls verändert wird. Das kann doch nicht sein.

Ich verzweifle gerade an diesen Elementaroperationen. unglücklich

unglücklich

16.01.2015, 17:30

Complexi

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Wie hast du deine Elementaroperationen denn dargestellt?

16.01.2015, 18:13

Widderchen

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Hallo,

also gegeben sei die Matrix B´ aus dem vorigen Post. Soweit bin ich gekommen. Danach habe ich erste und vierte Spalte getauscht, anschließend erste und vierte Zeile miteinander vertauscht. Das ergibt dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 50 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -50 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was mit T passiert, erwähne ich nicht, da sich nur Spaltenoperationen auf die Struktur von T auswirken.
Das sieht ja schon fast wie die gewünschte Matrix aus, aber hier komme ich nicht weiter. Nun gut, anschließend habe ich die Operation 1/50 * 1. Zeile + 2. Zeile sowie 1/50 * 3. Zeile + 4. Zeile
was mir

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraufhin die folgenden Zeilenoperationen: 4. Zeile - 1/2 * 3. Zeile sowie 2. Zeile - 1/2 * 1. Zeile. Dann erhalte ich die Struktur

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1/2 \\ -2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & -1/2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, jetzt habe ich die +1 und -1 auf der Hauptdiagonalen, aber wie werde ich nun die anderen Koeffizienten los???? Nach weiteren Rechenschritten (sowohl Zeilen- als auch Spaltenoperationen) verbessert sich das Resultat nicht.

Über Hilfe wäre ich dankbar.

Widderchen

17.01.2015, 01:18

Complexi

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Ich denke, du hast irgendwo vergessen, dass du die Operation immer sowohl auf die Zeilen als auch auf die Spalten anwenden musst. Das ist ja, wenn ich das gerade richtige überblicke, gerade der Sinn dahinter, dass die Matrix sowohl von rechts als auch von links mit der Transponierten multipliziert wird. Wenn du zwei solche zueinandergehörige "Paare" von Transformationen ausgeführt hast, sollte die resultierende Matrix wieder antisymmetrisch sein. Das ist bei deiner Ergebnismatrix ja nicht der Fall.

Ich komme so allerdings auf eine recht ähnlich aussehende Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 25 & 0 \\ 0 & -25 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , die aber weiterhin antisymmetrisch ist - wie es meiner Meinung nach auch sein sollte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nun kann man als elementares Operationenpaar einfach die dritte Zeile und die dritte Spalte mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{25} \end{eqnarray*}$ mutliplizieren:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Matrix lässt sich in wenigen Schritten (wieder beachten, dass die gleichen Operationen auf Zeilen und Spalten angewendet werden müssen) in die gewünschte Form überführen.

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17.01.2015, 01:19

Complexi

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Sorry, natürlich wird die Matrix nur von einer Seite mit der Transponierten von T multipliziert.

17.01.2015, 11:05

HAL 9000

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Off-topic

Bitte im LaTeX-Mode B' statt wie oben B` schreiben: Zumindest Firefox-Nutzer bekommen oben nämlich $\begin{eqnarray*} B^4 \end{eqnarray*}$ zu sehen statt des gewünschten $\begin{eqnarray*} B' \end{eqnarray*}$ .

17.01.2015, 11:13

tmo

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Weiter Off-Topic:

Alternativ funktioniert B^\prime: $\begin{align*} B^\prime \end{align*}$

Ich habe mich immer gefragt, wozu dieser Latexbefehl da ist, da B' genau dasselbe Ergebnis hervorruft: $\begin{align*} B' \end{align*}$

Naja, zumindest kann man $\begin{align*} \prime \end{align*}$ auch in normaler Zeilenhöhe benutzen, $\begin{align*} ' \end{align*}$ jedoch nicht.

Der wahre Grund liegt wahrscheinlich in irgendwelchen nicht-deutschen Textsätzen, wo ' evtl. Probleme macht.

17.01.2015, 21:48

Widderchen

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Ok,

ich hoffe, ich verstehe das richtig. Linksmultipliaktion mit der transponierten Matrix T* und Rechtsmultiplikation mit T und B bedeutet also, dass bei einer vorgegebenen Zeilenoperationen auch die entsprechende Spaltenoperationen und umgekehrt ausgeführt werden soll.
So habe ich die Matrix aber gar nicht erhalten ..... und dennoch bin ich zu einem ähnlichen Resultat gekommen wie du, Complexi. Zusätzlich habe ich beliebige Vertauschungen von Zeilen und Spalten vorgenommen, was - zumindest denke ich das - auch gestattet ist.
Allerdings weiß ich immer noch nicht, wie ich mit wenigen Operationen zu der Zielmatrix gelangen soll.
Ich habe es mehrfach ausprobiert, jedoch ohne Erfolg.

Viele Grüße
Widderchen

17.01.2015, 22:35

Complexi

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Operationen sind:
4. Zeile/Spalte von der 3. abziehen
3. Z/S zur 4. addieren
4. Z/S von der 3. abziehen

17.01.2015, 22:39

Complexi

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Bezüglich der beliebigen Operationen: Momentan sehe ich nicht, wieso das erlaubt sein sollte. Ich kann mich aber täuschen smile

smile

, ich hatte mir das nur anhand der Formel zusammengereimt.

17.01.2015, 22:48

Complexi

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Erläuternd noch dazu: Jede invertierbare Matrix ist darstellbar als Produkt von Elementarmatrizen, und Elementarmatrizen beschreiben deine elementaren Zeilenoperationen wie Zeilen vertauschen etc. Die invertierbare Matrix T entspricht also einer Foige von elementaren Zeilenoperationen, die auf die Matrix B angewendet werden, und T* entspricht den entsprechenden Spaltenoperationen.. Deshalb spräche, wenn man alle Arten von Elementaroperationen erlauben möchte, meines Erachtens nichts dagegen, für die beiden Arten von Operationen separate Matrizen zu verwenden. Aber auch hier kann ich mich irren, vielleicht kann noch jemand anders etwas dazu sagen. smile

smile

17.01.2015, 23:05

Widderchen

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Ja,

jede Elementaroperation kann durch Multiplikation einer geeigneten Elementarmatrix dargestellt werden.
Offenbar bin ich durch beliebige Operationen zu demselben bzw. einem ähnlichen Resultat gekommen wie du. Ich weiß jetzt auch nicht, ob das Resultat zufällig entstanden ist oder ob ich tatsächlich nach deinem Schema rechnen sollte. Aber vielen Dank für deine Hilfe. Jetzt versuche ich, die selben Operationen auf meiner Ausgangsmatrix anzuwenden und das Resultat irgendwie nachzuvollziehen.

Viele Grüße
Widderchen

17.01.2015, 23:19

Widderchen

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Halt Moment mal,

meine Matrix aus den letzten Posts ist überhaupt nicht richtig. Jetzt bin ich komplett verwirrt. Kann mir irgendjemand nochmal Schritt für Schritt erklären, wie ich von der Matrix B zum Endresultat komme, sprich alle Spaltenoperations und Zeilenoperationspaare nennen, die ausgeführt wurden???? Complexi hatte mir freundlicherweise schon die letzten Operationspaare genannt, um zur Endmatrix zu gelangen.

Ich denke dann verstehe ich diesen Algorithmus endgültig.

Widderchen

18.01.2015, 01:02

Complexi

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Ohne Gewähr:

(2)+2*(3)
(4)+5*(3)
(3) mit (4) vertauschen
(3)-3*(1)
(2)+4*(1)

Der Sinn ist bei diesen Operationen ja meistens, möglichst viele Nullen/Symmetrie zu erzeugen. Dadurch bekommt man dann Zeilen/Spalten, in denen möglichst nur noch eine 1 steht, mit der man viele andere Einträge auslöschen kann (hier z.B. im letzten und vorletzten Schritt).

Ich glaube übrigens, ich habe bei meiner Erläuterung mit den Elementarmatrizen oben Zeilen und Spalten vertauscht. Aber das kriegst du sicher selbst raus. Prost

Prost

18.01.2015, 13:27

Widderchen

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Hallo,

also ich habe die von dir genannten Zeilen- und Spaltenoperationen ausgeführt und bin zu der folgenden Matrix gekommen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 16 & 25 & 0 \\ 0 & 15 & 0 & 0 \\ 1 & 8 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun müsste ich im nächsten Schritt die 8 unten oder den Eintrag 16 eliminieren oder habe ich irgendwo einen Rechenfehler gemacht???

Viele Grüße
Widderchen

18.01.2015, 13:38

Complexi

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Wenn du immer in Paaren gerechnet hast (also z.B. im ersten Schritt erst die zweite Zeile plus zwei mal die dritte Zeile und in der resultierenden Matrix das Gleiche nochmal mit den Spalten) tippe ich auf einen Rechenfehler. Denn deine Matrix müsste ja nach jedem durchgeführten Paar wieder antisymmetrisch sein.

18.01.2015, 14:06

Widderchen

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Ich merke gerade, dass die Zielmatrix die Form

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

besitzen muss. Hammer

Hammer

Tja, was ein negatives Vorzeichen weniger in der Ausgangsmatrix auf die Endstruktur der Matrix ausrichten kann, ist verheerend!!! Big Laugh

Big Laugh

Ich habe jetzt die Form mit den Einträgen 25 und -25 erhalten, war das ein Kampf. Vielen Dank für deine Geduld, complexi. Du hast mir sehr geholfen.

Eine Frage noch: Wenn ich die Multiplikation der Spalte mit dem Faktor 1/25 durchführe, wirkt sich das dann auch wie alle anderen Spaltenoperationen auf die Struktur der Matrix T aus??? ich habe die Matrix ja unter der Matrix B notiert, aus diesem Grund erscheint es mir plausibel, auch die Einträge der Matrix in der entsprechenden Spalte mit 1/25 zu faktorisieren.

Und wie sieht es bei dieser Matrix aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Wenn ich da die 3. Zeile mit 1/2 multipliziere und schließlich noch die dritte Spalte, dann erhalte ich doch den Eintrag 1/2 statt der 2. Wie bekomme ich die Einträge -2 und 2 durch 1 , -1 oder Nullen ersetzt???

Viele Grüße
Widderchen

18.01.2015, 14:28

Complexi

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Ja, auch diese Operation muss in der Matrix vermerkt werden. smile

smile

18.01.2015, 14:38

Complexi

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Wenn ich da die 3. Zeile mit 1/2 multipliziere und schließlich noch die dritte Spalte, dann erhalte ich doch den Eintrag 1/2 statt der 2. Wie bekomme ich die Einträge -2 und 2 durch 1 , -1 oder Nullen ersetzt???

Wenn du die anderen Einsen behalten willst und mit Operationspaaren hantieren willst, multipliere einfach Zeile und Spalte mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ . Aber diese Matrix ist nicht antisymmetrisch, falls es eine Rolle spielt.

18.01.2015, 14:46

Widderchen

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Ja genau, diese Matrix ist nicht antisymmetrisch, sondern symmetrisch. Die Rechenprozedur ist aber dieselbe. Aber natürlich, Multiplikation mit 1/sqrt(2) liefert die gewünschte Form. LOL Hammer

LOL Hammer

Die 1 und -1 will ich invariant lassen, genau.

Ok, dann habe ich das Rechenschema verstanden. Falls ich Fragen haben sollte, melde ich mich wieder, aber ich denke, jetzt bekomme ich es hin! Nochmals vielen Dank, complexi!

Widderchen

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