Quotientenvektorraum - Basis, Isomorphie und Komposition

16.01.2015, 14:27

Nyphdeo

Quotientenvektorraum - Basis, Isomorphie und Komposition

Hallo! Ich hänge leider Gottes diese Woche total an meinem LinA-Blatt, und bin um jede mithilfe dankbar.

Das sind die Aufgaben:

1) Zeigen Sie, dass ((e1-e2) + Ker(a),..,(en-1-en) + Ker(a)) eine Basis von R^n/Ker(a) ist, wobei (e1,..,en) die kanonische Basis von R^n ist. Sei U Teilmenge von R^n der Untervektorraum mit der Basis (e1-e2,..,en-1-en). Bestimmen Sie einen Isomorphismus b: R^n/Ker(a) -> U.

die Funktion a: R^n -> R^n-1 mit x = (x1,..,xn)^T -> a(x)=(a1(x),...,(an-1(x))^T
ak(x)=xk-xk+1

2) Sei g: R² -> R² gegeben durch:

g(x) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * x

Seien U=span(e1), V=R²/U und r: R²->V, x->x+U die kanonische Abbildung auf den Quotientenvektorraum V. Bestimmen Sie die Abbildung g*: V -> V, sodass r ° g = g* ° r.

Lösungsvorschlag/Idee zu 1):

Also ich weiß das eine Basis linear unabhängig und ein Erzeugendensystem sein muss. Allerdings habe ich das bislang nur mit Matrizen oder linearen Abbildungen gemacht, und bin jetzt überfordert wie ich zeigen soll das ((e1-e2) + Ker(a),..,(en-1-en) + Ker(a)) linear unabhängig ist.

Zu dem Isomorphismus habe ich überhaupt keine Idee, außer das die Abbildung ja bijektiv sein muss. verwirrt

Lösungsvorschlag/Idee zu 2):
Dazu hatten wir etwas ähnliches in der Übung gemacht, jedoch nur für (x1,x2)^T Matrizen.
Würde ich das jetzt auf diese Aufgabe anwenden, bekäme ich für g*:

g*: V -> V, x + Ker(g) -> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Ich danke jedem für eine Idee/Tipp schonmal im voraus!!

LG Nyphdeo

16.01.2015, 18:30

Elvis

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Damit du solche Aufgaben bearbeiten kannst, musst du dich am Samstag und Sonntag je 8 Stunden lang hinsetzen und dir die Definitionen und Sätze zum Quotientenraum in aller Ruhe zu Gemüte führen. Homomorphiesatz für Vektorräume ist einer der wichtigsten Grundbegriffe der linearen Algebra. Wenn du den verstanden hast und anwenden kannst, wirst du dich vor nichts mehr fürchten. Solltest du am Montag immer noch Probleme mit dieser Aufgabe haben, werde ich dir weiterhelfen, wenn du deine bis dahin erarbeiteten Teillösungen aufschreibst. Schönes Wochenende.

17.01.2015, 01:08

RavenOnJ

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RE: Quotientenvektorraum - Basis, Isomorphie und Komposition
Damit das Lesen erträglich wird, habe ich das Ganze mal in Latex gesetzt (es hat mich zu sehr gegraust Augenzwinkern

Zitat:

Original von Nyphdeo
Hallo! Ich hänge leider Gottes diese Woche total an meinem LinA-Blatt, und bin um jede mithilfe dankbar.

Das sind die Aufgaben:

1) Zeigen Sie, dass $\begin{align*} \{(e_1-e_2) + \ker(a),\cdots,(e_{n-1}-e_n) + \ker(a)\} \end{align*}$ eine Basis von $\begin{align*} \mathbb R^n/\ker(a) \end{align*}$ ist, wobei $\begin{align*} \{e_1,\cdots,e_n\} \end{align*}$ die kanonische Basis von $\begin{align*} \mathbb R^n \end{align*}$ ist. Sei $\begin{align*} U \end{align*}$ Teilmenge von $\begin{align*} \mathbb R^n \end{align*}$ der Untervektorraum mit der Basis $\begin{align*} \{e_1-e_2,..,e_{n-1}-e_n\} \end{align*}$ . Bestimmen Sie einen Isomorphismus $\begin{align*} b:\mathbb R^n/\ker(a) \to U \end{align*}$ .

die Funktion $\begin{align*} a:\mathbb R^n \to \mathbb R^{n-1} \end{align*}$ mit $\begin{align*} x = (x_1,\cdots,x_n)^T \to a(x)=(a_1(x),\cdots,a_{n-1}(x))^T,a_k(x):=x_k-x_{k+1} \end{align*}$

2) Sei $\begin{align*} g: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 \end{align*}$ gegeben durch:

$\begin{align*} g(x) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot x \end{align*}$

Seien $\begin{align*} U=\operatorname{span}(e_1), V=\mathbb R^2/U \end{align*}$ und $\begin{align*} r:\mathbb R^2\to V, x\to x+U \end{align*}$ die kanonische Abbildung auf den Quotientenvektorraum $\begin{align*} V \end{align*}$ . Bestimmen Sie die Abbildung $\begin{align*} g^*: V \to V \end{align*}$ , sodass $\begin{align*} r \circ g = g^* \circ r \end{align*}$ .

Lösungsvorschlag/Idee zu 1):

Also ich weiß das eine Basis linear unabhängig und ein Erzeugendensystem sein muss. Allerdings habe ich das bislang nur mit Matrizen oder linearen Abbildungen gemacht, und bin jetzt überfordert wie ich zeigen soll das $\begin{align*} \{(e_1-e_2) + \ker(a),\cdots,(e_{n-1}-e_n) + \ker(a)\} \end{align*}$ linear unabhängig ist.

Zu dem Isomorphismus habe ich überhaupt keine Idee, außer das die Abbildung ja bijektiv sein muss. verwirrt

Lösungsvorschlag/Idee zu 2):
Dazu hatten wir etwas ähnliches in der Übung gemacht, jedoch nur für $\begin{align*} (x_1,x_2)^T \end{align*}$ Matrizen.
Würde ich das jetzt auf diese Aufgabe anwenden, bekäme ich für $\begin{align*} g^* \end{align*}$ :

$\begin{align*} g^*: V \to V, x +\ker(g) \to \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align*}$ ?

Ich danke jedem für eine Idee/Tipp schonmal im voraus!!

LG Nyphdeo

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