Ableitung unstetig |
16.01.2015, 15:45 | balance | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ableitung unstetig Kann mir bitte jemand ein Beispiel irgendeiner stetigen und differenzierbaren Funktion nennen, deren 1. Ableitung aber mind. 1 Unstetigkeitsstelle aufweist? Mir genügt es, wenn mir einfach eine einfache Funktion gezeigt wird. Ich rechne das ganze dann selbst nach. |
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16.01.2015, 15:51 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
16.01.2015, 17:01 | balance | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach, die ist gut. Ich hab mir dann doch noch was gesucht und das gefunden. Die Funktion ist für alle stetig, da sie eine Zusammensetzung stetig Funktionen ist. Gleiche gilt für die Differenzierbarkeit. Letzteres kann man auch zeigen, indem man die Ableitung berechnet. Wir müssen jedoch die potentielle Problemstelle x=0 betrachten. Ist f an der Stelle x=0 stetig? Falls der Grenzwert an der Stelle existitert, so ist sie stetig. Der Grenzwert an der Stelle 0 ist also gerade gleich dem Funktionswert an der Stelle 0. Somit ist f an der Stelle 0 stetig. Ist f an der Stelle x=0 differenzierbar? Auch hier giltet wieder, falls sie dort differenzierbar ist, muss der Grenzwert existieren. Ja, es existiert ein Grenzwert. Ist f'(x) an der Stelle x=0 stetig? xistiert nicht, wegen cos(1/x). Somit ist die 1. Ableitung nicht stetig an der Stelle 0 und f ist somit nicht in . In welchem Raum wäre f? |
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16.01.2015, 18:05 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein - die richtige Ableitung ist . P.S.: Wenn wir deine falsche Ableitung betrachten, so irrst du in der weiteren Rechnung: Es ist . Aber das spielt letztlich ja keine Rolle mehr. EDIT (19.1.): Entschuldigung, ich hatte oben den Ableitungsstrich vegessen - immerhin stand im Text richtig, dass ich die Ableitung meine. |
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19.01.2015, 09:53 | balance | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Huch, das war ein grober Schnitzer. Da hast du recht, das ist Blödsinn. Wäre die Argumentation für den Grenzwert korrekt: Ich weis nicht, was ich mir bei der Ableitung gedacht habe, korrekt wäre natürlich: Aber danke, mir ist das alles mittlerweile klarer. Gibt es ein Beispiel einer Funktion dessen n'te Ableitung unstetig ist, die Funktion aber aus einer Zusammensetzung elementarer Funktionen besteht? Also was im Stil von :f(x)=e^sin(4x)*cot(x/4). Also nicht stückweise definiert. Ich dachte halt, als ich davon las, eigentlich erst nur an sowas und mir fiel einfach kein Beispiel ein. Bei der Funktion die du angegeben hast, macht es für mich Sinn. |
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19.01.2015, 10:05 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Verstehe nicht, was diese Zeile soll - schon das darin enthaltene 1/0 disqualifiziert sie völlig. Wenn es um das Grenzverhalten der Ableitung für gehen soll, dann sticht ja der Term ins Auge, der bei dieser Annäherung die volle Schwankungsbreite zwischen -1 und 1 ausfüllt. Betrachten wir also mal spezielle Folgen mit : (a) : (b) : . Damit kann natürlich im Nullpunkt keine Stetigkeit der Ableitung vorliegen.
"Wildes" Verhalten in der Umgebung des Punktes, aber dennoch Differenzierbarkeit im Punkt selbst: Da muss man schon zu auf den ersten Blick ungewöhnlichen Kompositionen greifen. Aber wenn dir was einfacheres einfällt - immer her damit. |
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19.01.2015, 10:29 | balance | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
HAL 9000: Ja, natürlich, mir ist klar dass der cos mit deiner Begründung keinen Grenzwert besitzt. Aber passt so. Machen wir hier fertig, ich muss echt an meiner Ausdrucksweise hier arbeiten. Danke und schönen Montag. |
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