Folge konvergiert gegen x => Alle Teilfolgen konvergieren gegen x. Umkehrung?

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16.01.2015, 18:11

waldiphil

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Folge konvergiert gegen x => Alle Teilfolgen konvergieren gegen x. Umkehrung?

Guten Nachmittag,

Zitat:

Wenn eine Folge gegen einen bestimmten Wert konvergiert, konvergieren auch alle ihre Teilfolgen gegen diesen Wert.

Klar soweit Augenzwinkern

Mein Problem nun aber:
Wir haben in der Übung eine Funktion betrachtet, die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf unterschiedliche Werte abbildet, je nachdem, ob $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ rational oder irrational ist.
Konkret geht es hier um das Folgenkriterium für Stetigkeit (jede beliebige Folge über dem Definitionsbereich muss in $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eingesetzt gegen $\begin{eqnarray*} f(x_{0}) \end{eqnarray*}$ konvergieren, wobei $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ hier den Grenzwert der Folge bezeichnet).

Nun kann es hier ja 3 mögliche Folgen über dem Definitionsbereich geben: Solche, die nur aus rationalen Folgegliedern bestehen, solche, die nur aus irrationalen Folgegliedern bestehen und solche, bei denen beides vorkommt.
Mich interessiert letzterer Fall.

Man hat also eine Folge, die rationale und irrationale Folgeglieder enthält, welche, wenn wir die Folge in die Funktion einsetzten, auf unterschiedliche Art und Weise abgebildet werden.

Wir zerlegen die Folge in zwei Teilfolgen, nämlich jene, die wiederum nur aus rationalen, und jene, die wiederum nur aus irrationalen Folgegliedern besteht.
Mir kommt es nun so vor, als hätten wir in der Übung (ich war nicht die ganze Übung da und bin auch nicht ganz mitgekommen) dann aus der Konvergenz dieser beiden Teilfolgen in die Funktion eingesetzt gegen einen identischen Grenzwert geschlossen, dass auch die "zusammengesetzte" Folge in die Funktion eingesetzt gegen diesen Grenzwert konvergiert.

Und da beginnen meine Bauchschmerzen Augenzwinkern

Ich kenne aus der Vorlesung nur folgenden dazu passenden Satz:

Zitat:

Satz 3.6 Ist $\begin{eqnarray*} (x_{n}) \end{eqnarray*}$ eine gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergente Folge reeller oder komplexer Zahlen. Dann konvergiert jede Teilfolge von $\begin{eqnarray*} (x_{n}) \end{eqnarray*}$ ebenfalls gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Das ist nun leider eine Implikation, keine Äquivalenz unglücklich

Nun habe ich mich auf die Suche gemacht in den Weiten des Internets nach einem Beweis für die Gegenrichtung und wurde auch ziemlich schnell fündig, z.B. hier:
Mathe für Nicht-Freaks (klick)
(ganz unten, Beweis (Konvergenz von Teilfolgen), Beweis der zweiten Implikation).

Allerdings verstehe ich den Beweis nicht bzw. so wie ich ihn verstehe, beweist er nicht, was ich für o.s. Zusammenhang bewiesen haben möchte Augenzwinkern

Hier wird vorausgesetzt, dass die Gesamtfolge Teilfolge von sich selber ist. Ich verstehe das ähnlich der Potenzmenge: Die eigentliche Menge ist auch Teilmenge der Menge aller möglichen Teilmengen.
Das bedeutet aber doch auch, wenn man sagt "die Menge aller Teilfolgen konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ", dass man damit gleichzeitig auch voraussetzt, dass die Gesamtfolge (da sie Teilfolge ist) gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergiert?

Und so könnte ich dann doch nicht daraus, dass die Folge der rationalen Zahlen und die Folge der irrationalen Zahlen eingesetzt in die Funktion gegen den gleichen Grenzwert konvergieren schließen, dass auch die Gesamtfolge in die Funktion eingesetzt gegen diesen Grenzwert konvergiert (da ich nur für 2 der 3 bedeutenden Teilfolgen den Grenzwert bestimmt hätte).

Vielleicht kann sich jemand von Euch die Mühe machen und mir erklären:
Interpretiere ich die (kopierte) Mitschrift aus der Übung richtig: Kann man aus der Konvergenz einer beliebigen Folge rationaler Zahlen in eine Funktion eingesetzt und einer beliebigen Folge irrationaler Zahlen in einer Funktion eingesetzt gegen den gleichen Grenzwert schließen, dass auch eine beliebige Folge reeller Zahlen in die Funktion eingesetzt gegen diesen konvergiert?
Was habe ich in diesem Falle falsch verstanden am Beweis bzw. kann mir den jemand noch etwas genauer erläutern Augenzwinkern

?

Vielen lieben Dank schon mal
Philipp

PS: Ich schreibe hier immer von "Folge in Funktion eingesetzt". Was ich damit meine ist, dass man sich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(x_{n}) \end{eqnarray*}$ anschaut.
Kann man das mit dem "in Funktion eingesetzt" so schreiben oder geht der professionelle Mathematiker bei so einer Formulierung an die Decke Augenzwinkern

16.01.2015, 18:19

waldiphil

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Wups, jetzt fällt mir grade auf das die ganze Überlegung ja Quatsch ist:
Jede beliebige Teilfolge müsste gegen den Wert konvergieren, das heißt nicht nur jene, die nur rationale Folgenglieder enthält und jene, die nur irrationale enthält Hammer

In der Übung haben wir jedoch genau das gemacht: Geschrieben, dass eine beliebige Folge in den reellen Zahlen "zerfällt" (ein Begriff mit dem ich prinzipiell auf Kriegsfuß stehe) in die Folge, die nur aus rationalen Folgegliedern besteht und die Folge, die nur aus irrationalen Folgegliedern besteht.

und da die Grenzwerte dieser beiden Folgen in die Funktion eingesetzt die Funktionswerte der Grenzwerte sind, haben wir daraus geschlossen, dass die Funktion an diesen Stellen $\begin{eqnarray*} x_{o} \end{eqnarray*}$ stetig ist böse

17.01.2015, 11:47

Complexi

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Kannst du vielleicht näher darauf eingehen, welche funktion untersucht wurde und an welchen stellen stetig ist/sein soll?

17.01.2015, 12:02

Complexi

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Du hast insofern Recht, dass es nicht reicht, die Konvergenz einer beliebigen Teilfolge zu zeigen. Wenn die beiden Teilfolgen allerdings insgesamt alle Folgenglieder der Ursprungsfolge enthalten und gegen den gleichen Grenzwert konvergieren, dann konvergiert auch die Ursprungsfolge.

18.01.2015, 11:23

waldiphil

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Zitat:

Original von Complexi
Wenn die beiden Teilfolgen allerdings insgesamt alle Folgenglieder der Ursprungsfolge enthalten und gegen den gleichen Grenzwert konvergieren, dann konvergiert auch die Ursprungsfolge.

genau, exakt das brauche ich!

Wie kann man das beweisen/begründen?
Oder ist das trivial?

18.01.2015, 11:55

Complexi

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Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (c_n) \end{eqnarray*}$ ihre Aufspaltung in "disjunkte Teilfolgen" (darauf gehe ich jetzt mal nicht näher ein Augenzwinkern

), so dass $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (c_n) \end{eqnarray*}$ gegen den Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ konvergieren. Dann konvergiert auch $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ gegen a.

Beweis: Für gegebenes $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ wähle $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ so, dass sowohl $\begin{eqnarray*} |b_n-a| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} |c_n-a| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n > n_0 \end{eqnarray*}$ . Beide Folgen enthalten dann nur endlich viele $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} c_l \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \leq n_0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} l\leq n_0 \end{eqnarray*}$ . Also lässt sich auch ein $\begin{eqnarray*} m_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ finden, so dass die Folge $\begin{eqnarray*} (a_{n+m_0}) \end{eqnarray*}$ keine dieser Folgenglieder mehr enthält. Es gilt dann also $\begin{eqnarray*} |a_n-a| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n>m_0 \end{eqnarray*}$ , und die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen a.

18.01.2015, 20:21

waldiphil

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Vielen Dank für den Beweis, jetzt kann ich das auch nachvollziehen Augenzwinkern

Damit ist alles klar Freude

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