3D-Fouriertransformation

16.01.2015, 20:53	Matheberius	Auf diesen Beitrag antworten »
3D-Fouriertransformation Meine Frage: Guten Abend zusammen, bin neu hier, entschuldig daher mögliche Latex-Fehler... Ich habe da ein Probleme mit der Berechnung folgender FT in 3 Dimensionen: Gegeben sei die Wellenfunktion: $\begin{eqnarray} f(\vec{x})= Ae^{-\|\vec{x}\|/a } \end{eqnarray}$ Die Aufgabe ist nun mittel $\begin{eqnarray} f(\vec{k}) \end{eqnarray}$ 3D-Fouriertransformation zu berechnen. Meine Ideen:* $\begin{eqnarray} <br /> f(\vec{k}) = \int_{-\infty} ^\infty \! Ae^{-\|\vec{x}\|/a } e^{-i\vec{k}\vec{x} } \, d^{3}x <br /> \end{eqnarray}$ Weiter habe ich dann das Skalarprodukt von \vec{k} und \vek{x} berechnet. Jetzt Kugelkoordinaten verwenden: $\begin{eqnarray} <br /> x=rsin(\alpha )cos(\beta)<br /> y=rsin(\alpha)sin(\beta)<br /> z=rcos(\alpha) <br /> dV=drd\alpha d\beta r^{2}sin(\alpha ) <br /> <br /> <br /> mit Grenzen: 0<r<\infty ;<br /> 0<\alpha<\pi; <br /> 0<\beta<2\pi ;<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} <br /> A\int_0^\infty \! dr \, r^2 \int_0^{2\pi} \! d\beta \, \int_0^\pi \! d\alpha \, sin(\alpha ) e^{-r/a}e^{-i(k_{1}rsin(\alpha )cos\beta + k_{2}rsin(\alpha )sin(\alpha )+ k_{3}rcos(\alpha ))} <br /> \end{eqnarray}$ Jup, sowas Hässliches aber auch... Ich wollte nun eine Substitution durch führen, irgendwas in der Art $\begin{eqnarray} u=sin(\alpha) \end{eqnarray}$ , aber dann hätte ich das infinitesimale $\begin{eqnarray} d\alpha \end{eqnarray}$ im Exponent. Vielleicht ist dies möglich zu berechnen, leder hatte ich dies noch nie! Könnte mir jemand, wenn möglich einen Antoss geben, wie ich da fortfahren soll. Oder falls mein Ansatz totaler Schwachsinn ist, einen anderen Ansatz geben? Schon mal Dank im Voraus für jegliche Hilfe!
17.01.2015, 12:19	Matheberius	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 3D-Fouriertransformation Kann mir denn niemand einen Tipp geben? Oder muss ich es ins Physik-Forum posten, da es eigentlich eine Aufgabe aus der Quantentheorie ist..?
17.01.2015, 14:37	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 3D-Fouriertransformation Deine Wellenfunktion ist radialsymmetrisch. Also kannst du dein Koordinatensystem so orientieren, dass $\begin{eqnarray} \vec{k}=(0,0,k)^T \end{eqnarray}$ ist. Das vereinfacht die Sache erheblich.
18.01.2015, 10:29	Matheberius	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 3D-Fouriertransformation Hallo URL, Danke für die Antwort, ich sehe leider noch nicht ganz, wieso die Wellenfunktion radialsymmetrisch sein sollte. Ist der Grund einfach der, dass man eine Kugel hat und somit direkt sagen darf, es ist radialsymmetrisch? Jetzt akzeptiere ich halt mal, dass es radialsymmetrisch ist, muss $\begin{eqnarray} \vec{k}= (0,0, k)^T \end{eqnarray}$ stets so gewählt werden oder könnte es im Allgemeinen auch $\begin{eqnarray} \vec{k}= (k,0,0)^T \end{eqnarray}$ sein? Wie muss dies gewählt werden? Die Aufgabe, mit $\begin{eqnarray} \vec{k}= (0,0, k) \end{eqnarray}$ , zu lösen ist dann natürlich ein Klacks...!
18.01.2015, 11:29	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 3D-Fouriertransformation Eine radialsymmetrische Wellenfunktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ hat man, wenn der Wert von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nur vom Abstand vom Nullpunkt aber nicht von den Winkeln abhängt. Das ist bei $\begin{eqnarray} f(\vec{x})= Ae^{-\|\vec{x}\|/a } \end{eqnarray}$ der Fall. Wäre $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nicht radialsymmetrisch, könntest du immernoch die Orientierung des Koordinatensystems ändern. Letztlich läuft es auf eine Variablensubtituion $\begin{eqnarray} \vec{x}=A\vec{y} \end{eqnarray}$ mit einer orthogonalen Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ hinaus. An der radialsymmetrischen Wellenfunktion ändert sich wegen $\begin{eqnarray} \|\vec{x}\|=\|A\vec{y}\| \end{eqnarray}$ praktischerweise nichts. Du kannst das Koordinatensystem auch so orientieren, dass $\begin{eqnarray} \vec{k}=(1,0,0)^T \end{eqnarray*}$ gilt. Die Orientierung sollte das Problem möglichst vereinfachen Versuch deine Aufgabe doch mal mit dieser Orientierung zu lösen. Wo siehst du denn eigentlich eine Kugel? Was bekommst du bei dem Klacks heraus?
18.01.2015, 12:40	Matheberius	Auf diesen Beitrag antworten »
Kugel, wegen den Kugelkoordinaten.. Aber wohl total hohl die Idee Okay, ich nehme es zurück, einfacher wirds, aber trotzdem kein Klacks... Mit $\begin{eqnarray} \vec{k}= (0,0,k) \end{eqnarray}$ gilt dann: $\begin{eqnarray} f(\vec{k})= A\int_0^\infty \! dr \, r^2 \int_0^\pi \! d\alpha \, sin(\alpha)\int_0^{2\pi} \! \, d\beta e^{-\frac{r}{a}}e^{-i(krcos(\alpha))} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2\pi A\int_0^\infty \! dr \, r^2\int_0^\pi \! d\alpha \, sin(\alpha ) e^{-\frac{r}{a}}e^{-ikrcos(\alpha )} \end{eqnarray}$ Substitution: $\begin{eqnarray} u= cos(\alpha) , du= sin(\alpha) d\alpha \end{eqnarray}$ Grenzen: $\begin{eqnarray} u_1= 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u_2=-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -2\pi A\int_0^\infty \! dr \, r^2\int_{-1}^1 \! du \, e^{-\frac{r}{a}}e^{-ikru } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{ik}2\pi A \int_0^\infty \! dr \, r e^{-\frac{r}{a} } \left[e^{-ikru} \right]_{-1}^{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{k}2\pi A \int_0^\infty \! dr \, r e^{-\frac{r}{a} } 2sin(kr) \end{eqnarray}$ Partielle Integration $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{k^2}4\pi A \int_0^\infty \! dr \, (e^{\frac{-r}{a}} -\frac{r}{a}\cdot e^{\frac{-r}{a}} ) cos(kr) \end{eqnarray}$ Irgendwie habe ich ab hier das Gefühl, dass die partielle Integration alles schlimmer macht, und ich zu keinem Schluss komme...
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18.01.2015, 13:08	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechne lieber mit den komplexen Exponentialfunktionen weiter statt sie in den Sinus zu verwandeln. Dann bleiben Integrale der Form $\begin{eqnarray} \int re^{\gamma r}dr \end{eqnarray}$ denen man mit partieller Integration Herr wird.
18.01.2015, 13:11	Matheberius	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay werde ich versuchen.

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