Vollständige Induktions Probleme mit Bruch

16.01.2015, 23:03

Peli

Vollständige Induktions Probleme mit Bruch

Hi,

und zwar lerne ich gerade die Vollständige Induktions zur Beweisführung. Prinzip habe ich zwar verstanden aber ich hänge beim Rechnen an einer Stelle fest. Geht um Aufgabe 2b)

Die Aufgabe:

[attach]36830[/attach]

Mein Lösungsversuch

Meine bisherige Lösung:

[attach]36831[/attach]

(PS: Ich merke gerade hab mich verschrieben soll nicht Induktionsbehauptung sondern Induktionschritt bei 3 heißen.)

Es hängt halt genau in der letzten Zeile

Ich weiß einfach nicht wie ich weiter rechnen soll. Ich denke das von Rechts ist ja fertig kanns ja nicht weiter auflösen. Außer es ist hier kürzen erlaubt.

Links müsste ich die beiden Brüche zu einem gemeinsamen Nenner finden. Blos mit n-Fakultät und n+1 Fakultät keine Ahnung wie das funktioniert. Also irgendwas mach ich falsch oder ich weiß nicht, ich hock da jetzt Stunden davor und komme nicht weiter. Bitte um euere Hilfe und danke schon einmal

16.01.2015, 23:10

10001000Nick1

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Womit muss man denn $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ multiplizieren, damit man $\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$ erhält?

16.01.2015, 23:50

Peli

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Danke erstmal für die Antwort

Das ist es ja ich komm einfach nicht drauf traurig

Mit unbekanten wie n ist es ja eigentlich kein Problem blos mit dem Fakultät da tu ich mir schwer.

Gedanke ist halt:

n! + 1!

ist für mich nicht das gleiche wie

(n+1)!

Da sich wenn man was fürs n einsetzt da jeweils was anders raus kommt, deswegen tu ich mir da etwas schwer.

17.01.2015, 00:25

Bjoern1982

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Mach es dir doch anhand eines Beispiels klar:

Was ist 4! und was ist 5! und was muss man demnach mit 4! multiplizieren, damit 5! entsteht ?

Analog funktioniert das mit n! und (n+1)!

17.01.2015, 11:55

Peli

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mit 5 mal das ist mir klar.

Das wusste ich auch alles schon vorher.

Ich hab mir auch schon zig Bsp selber gemacht um drauf zu kommen aber ich finde da nichts sonst würde ich hier ja nicht fragen.

Ich versuchs mal mit zwei Bsp wo meine Ansätze waren, wenn ich fürs n was einsetze.

$\begin{eqnarray*} n = 5 n! = 120 (n+1)! = 720 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n = 3 n! = 6 (n+1)! = 24 \end{eqnarray*}$

Den Unterschied denn ich hier immer sehe ist bei n = 5 zwischen den Ergebnissen 120 und 720 es ist das 6 Fache. Bei n = 3 ist es das 4 Fache. Also kann man auch sagen n+1 Fache.

Also müsste ich das n! mit n+1 multiplizieren um auf (n+1)! zu kommen. So aber genau da hackt es ja. Für mich ist
$\begin{eqnarray*} n! * (n+1) = n^2! + 1! \end{eqnarray*}$

Also passt es nicht verwirrt

Was anderes noch:
Liege ich richtig in der Annahme richtig das ein Unterscheid zwischen n! + 1! und (n+1)! liegt? Denn sollte ich für die n was einsetzen kommt jeweils was anderes raus.

Bitte ich blick da nicht durch auch die bsp helfen mir hier nicht mehr traurig

17.01.2015, 12:11

Peli

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Noch was kann ich bei dieser Beweisführung auch sagen ich setzte für das n eine Zahl ein um das ganze auf Gleichheit zu beweisen? Ist so etwas erlaubt? Da würde ich mir um einiges leichter tun aber müsste das von oben trotzdem noch verstehen.

17.01.2015, 12:47

Bjoern1982

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Zitat:

Also müsste ich das n! mit n+1 multiplizieren um auf (n+1)! zu kommen

Genau das ist es.

Etwas schöner hätte man es auch sehen können, wenn du nicht direkt das Endergebnis der Fakultäten aufschreibst:

4!=1*2*3*4 und 5!=1*2*3*4*5=4!*5

Da sieht man es ja nun überdeutlich. Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} n! * (n+1) = n^2! + 1! \end{eqnarray*}$

Wenn schon ausmultiplizieren, dann so: n!*n+n!*1

Naja aber wie oben im Beispiel ausgeführt, ist eben für n=4 folglich $\begin{eqnarray*} 4! \cdot (4+1)=4! \cdot 5=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 =5! \end{eqnarray*}$

Also gilt eben $\begin{eqnarray*} n! \cdot (n+1)=... \end{eqnarray*}$

Zitat:

Liege ich richtig in der Annahme richtig das ein Unterscheid zwischen n! + 1! und (n+1)! liegt? Denn sollte ich für die n was einsetzen kommt jeweils was anderes raus.

Eben, und das widerlegt ja deine Vermutung direkt.

Zitat:

Noch was kann ich bei dieser Beweisführung auch sagen ich setzte für das n eine Zahl ein um das ganze auf Gleichheit zu beweisen?

Zahlenbeispiele sind immer ganz praktisch, um sich den Sachverhalt zu verdeutlichen.
Ein allgemeingültiger Beweis ist das aber dann natürlich nicht (eben nur ein Beleg dafür, dass es für ein Zahlenbeispiel xy funktioniert).

17.01.2015, 12:49

FranzOS42

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Hi Peli,

Naja schreib es doch einfach mal auf, wir nehmen als Beispiel n = 5 (Die +1 wird beim teilen ignoriert)

$\begin{eqnarray*} 5! + 1! &\neq (5 + 1)! \\ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 + 1&\neq 6! \\ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 + 1 &\neq 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 ~ | : 1,2,3,4,5\\ 1 \neq 6 \end{eqnarray*}$

Auch zu deiner Frage (wieder n = 5), wobei ich mich frage wie du auf $\begin{eqnarray*} n^2! + 1! \end{eqnarray*}$ kommst wenn du ausmultiplizierst dann doch $\begin{eqnarray*} n^2! + n! \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} n! \cdot (n + 1) &\neq n^2! + 1! \\ 5! \cdot 6 &\neq 5^2! + 1! \\ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 &\neq \prod\limits_{i=1}^{25} + 1! | 1,2,3,4,5,6\\ 1 &\neq 7 \cdot 8 \cdot .... \cdot 24 \cdot 25 \end{eqnarray*}$

17.01.2015, 15:55

Peli

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Ok danke euch beiden Wink

scheine ich begriffen zu haben. Mein Fehler war wohl, dass ich es ausmultiplizieren wollte aber wenn man das macht kommt halt ein ganz anderes Ergebnis raus. Das ist dann aber kein kleinster gemeinsammer Nenner mehr.

Ohja das ausmulitplizieren da war ich wohl etwas zu schnell.

Es stimmt wohl dass:

$\begin{eqnarray*} n! * n \neq n^2! 3! * 2 \neq 3^2! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n! * (n+1) = n!*n + n! \end{eqnarray*}$

Mein Fehler lag wohl darin, dass ich das n wie eine einfache Variable x mit x ausmultiplizieren wollte ohne die Fakultät zu beachten und die hat also mit ihrer Stärke immer den Vorrang.

Danke euch!

17.01.2015, 16:11

Peli

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So habs mal fertig gerechnet die Aufgabe:

[attach]36837[/attach]

Verdammt das ist so plausibel und genau das hat mir im letzten Semester die Klausur versaut... 1 Punkt gefehlt Hammer

.

Danke nochmal!

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