Approximation von Sinusfunktion

16.01.2015, 23:43

python_15

Approximation von Sinusfunktion

Meine Frage:
Hallo!
Ich bräuchte bitte Hilfe bei folgender Aufgabe:
Für welche $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ kann man $\begin{eqnarray*} sin x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x - \frac{x^3}{3!} \end{eqnarray*}$ approximieren, sodass die Abweichung höchstens $\begin{eqnarray*} 3 \cdot 10^{-4} \end{eqnarray*}$ beträgt?

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} |sin x - (x- \frac{x^3}{3!})| \leq 3 \cdot 10^{-4} \\<br /> |sin x - x+ \frac{x^3}{3!}| \leq 3 \cdot 10^{-4} \end{eqnarray*}$

Leider habe ich keine Ahnung, wie ich das auflösen kann...

17.01.2015, 00:27

TI_JO

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Approximation von Sinusfunktion
Hey Python_15,
Ich würde erst mal den Sinus um Null taylorentwickeln. Dann hast du $\begin{eqnarray*} sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+... \end{eqnarray*}$
Dann irgendwie das Ganze mit der Dreiecksunsungleichung begründen, aber ich sehe es, um ehrlich zu sein, jetzt auch nicht gerade...

Eine andere Möglichkeit wäre vlt. der Mittelwertsatz. Damit kann man nämlich folgendes aussagen:
$\begin{eqnarray*} | sin(a)-sin(b) | \leq | a-b | \end{eqnarray*}$ .

17.01.2015, 01:13

TI_JO

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Approximation von Sinusfunktion
Ich nochmal, meine Idee mit der Taylorreihe ist nicht mal so schlecht gewesen. Ich habe noch mal meine Analysisnotizen raus genommen. Man braucht hier tatsächlich den "Fehler der Approximation des Taylorpolynoms f":
$\begin{eqnarray*} | R_n(x) |\leq \frac{f^{(n+1)}(x) }{(n+1)}|x-x_{0}|^{n+1} \end{eqnarray*}$

Hier bei der Aufgabe ist nun $\begin{eqnarray*} f(x)=x-- \frac{x^3}{3!} \end{eqnarray*}$ .
Also: $\begin{eqnarray*} | R_3(x) |\leq \frac{1}{(4!)}|x|^{4} \end{eqnarray*}$ , dies soll jetzt für gewisse x kleiner sein als 0.0003 sein.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(4!)}|x|^{4} = 0.0003 \Rightarrow x^4 = 0.0072 \Rightarrow |x| ~0.3 \end{eqnarray*}$

Also für alle |x|<0.3 ist die Abweichung kleiner als 0.0003.

17.01.2015, 03:58

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

warum nicht gleich das Restglied von Lagrange für f(x)=sin(x) verwenden. Nicht für das Tayorpolynom T_3(x,0)

$\begin{eqnarray*} R_3(x,0) < \frac{f^{(n+1)}(\xi) }{(n+1)!}x^{n+1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zwischen Null und x

$\begin{eqnarray*} R_3(x,0) < \frac{\cos(\xi) }{(5)!}x^5 \end{eqnarray*}$

der Cosinus wird nach oben mit 1 abgeschätzt. --->

$\begin{eqnarray*} R_3(x,0) < \frac {1}{120}x^5 \end{eqnarray*}$ --->

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{120}x^5 <3.0 \cdot {10}^{-4} \Rightarrow x<0.514 \end{eqnarray*}$

Aus Symmetriegründen folgt: $\begin{eqnarray*} -0.514 < x < 0.514 \end{eqnarray*}$

17.01.2015, 10:23

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von TI_JO
$\begin{eqnarray*} | R_n(x) |\leq \frac{f^{(n+1)}(x) }{(n+1)}|x-x_{0}|^{n+1} \end{eqnarray*}$

Selbst wenn man rechts um die Ableitung noch einen Betrag setzt, ist diese Abschätzung falsch: Man betrachte nur mal $\begin{align*} n=4 \end{align*}$ und $\begin{align*} x=\frac{\pi}{2} \end{align*}$ , dann stände da

$\begin{align*} \left| R_4\left( \frac{\pi}{2} \right) \right| \stackrel{?}{\leq} \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) \left| \frac{\pi}{2} \right|^5 = 0 \end{align*}$ ,

das stimmt gewiss nicht.

Wie es richtig geht, steht bei Dopap. Alternativ kann man hier speziell damit argumentieren, dass die Taylorreihe hier eine alternierende Leibnizreihe ist: Sofern man bereits im monoton fallenden Teil ist, kann man den Reihenrest betragsmäßig durch das erste nicht berücksichtige Reihenglied nach oben abschätzen.

17.01.2015, 10:37

python_15

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für eure Hilfe!

17.01.2015, 10:44

python_15

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dopap
warum nicht gleich das Restglied von Lagrange für f(x)=sin(x) verwenden. Nicht für das Tayorpolynom T_3(x,0)

$\begin{eqnarray*} R_3(x,0) < \frac{f^{(n+1)}(\xi) }{(n+1)!}x^{n+1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zwischen Null und x

$\begin{eqnarray*} R_3(x,0) < \frac{\cos(\xi) }{(5)!}x^5 \end{eqnarray*}$

Warum wird hier $\begin{eqnarray*} n+1=5 \end{eqnarray*}$ gesetzt und nicht $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ ? Es ist doch das Restglied 3. Ordnung... oder sehe ich das falsch?

17.01.2015, 10:51

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, Dopap meint hier $\begin{align*} n=4 \end{align*}$ , also $\begin{align*} R_4(x,0) \end{align*}$ :

In dem eigentlichen Taylorpolynom macht das keinen Unterschied, weil das vierte Glied gleich

$\begin{align*} \frac{\sin(0)}{4!}x^4 = 0 \end{align*}$

ist.

17.01.2015, 11:03

python_15

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja.
Aber beim Ergebnis macht es doch schon einen Unterschied.
Laut Danops Ergebnis müsste es für z.B. $\begin{eqnarray*} x = 0.4 \end{eqnarray*}$ auch gelten, allerdings beträgt die Differenz zwischen $\begin{eqnarray*} sin(0.4) = 0.389 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T_3(f,0.4,0) = 0,379 \end{eqnarray*}$ rund $\begin{eqnarray*} 0.011 \end{eqnarray*}$ .
Mit dem Restglied 3. Ordnung komme ich auf $\begin{eqnarray*} |x| < 0.2913 \end{eqnarray*}$ und das sollte hinkommen.

17.01.2015, 11:08

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von python_15
$\begin{eqnarray*} T_3(f,0.4,0) = 0,379 \end{eqnarray*}$

Da bekomme ich was anderes heraus - wesentlich näher am richtigen Sinuswert. unglücklich

17.01.2015, 11:12

python_15

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Da bekomme ich was anderes heraus - wesentlich näher am richtigen Sinuswert. unglücklich

Natürlich hast du recht, ich habe die Faktorielle im Nenner vergessen. Hammer

Aber stimmt dann als Ergebnis $\begin{eqnarray*} |x| < 0.514 \end{eqnarray*}$ , weil man das Restglied 4. Ordnung nehmen kann, da das 4. Glied des Taylorpolynoms 0 ist?

17.01.2015, 11:18

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von python_15
Aber stimmt dann als Ergebnis $\begin{eqnarray*} |x| < 0.514 \end{eqnarray*}$

Na klar stimmt das.

Zitat:

Original von python_15
weil man das Restglied 4. Ordnung nehmen kann, da das 4. Glied des Taylorpolynoms 0 ist?

Das ist zwar etwas wirr formuliert, aber ich erahne was du meinst: Die Abschätzung rechts in

$\begin{align*} |R_3(x)| = \left| \frac{\sin(\xi)}{4!} x^4 \right| \leq \frac{1}{4!} |x|^4 \end{align*}$

ist einfach viel zu grob, d.h. man kommt ihr nicht besonders nahe, weil der Sinuswert im hier interessierenden Intervall sehr klein ist und nie auch nur entfernt der oberen Abschätzung 1 nahekommt.

Das ist bei

$\begin{align*} |R_4(x)| = \left| \frac{\cos(\xi)}{5!} x^5 \right| \leq \frac{1}{5!} |x|^5 \end{align*}$

ganz anders, denn für diese kleinen Argumente ist $\begin{align*} \cos(\xi) \end{align*}$ nahezu gleich 1.

17.01.2015, 11:25

python_15

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, vielen Dank! smile

Neue Frage »

Antworten »

Approximation von Sinusfunktion

Verwandte Themen