Circle Packing: 5 Kreise in einem Quadrat

17.01.2015, 12:14	Tomba	Auf diesen Beitrag antworten »
Circle Packing: 5 Kreise in einem Quadrat Meine Frage: Hallo an alle, ich schreibe gerade an der Uni eine Arbeit zu Origami und Mathematik und bin auf ein Problem gestoßen, an dessen Lösung ich scheitere. Gegeben ist ein Quadrat mit Seitenlänge 1. Auf den Seiten dieses Quadrats liegen die Mittelpunkte von 5 Kreisen desselben Radius, so dass vier Kreise zur Hälfte und ein Kreis zu einem Viertel in dem Quadrat liegen. (Siehe Anhang.) Die Kreise sollen den größtmöglichen Flächeninhalt haben, zu errechnen ist der Radius der Kreise. Die Lösung ist gegeben, der Radius beträgt rund 0,324. Das Buch, aus dem die Aufgabe stammt, gibt als Tipp nur, dass man am Ende auf die Formel $\begin{eqnarray} r =1+ \frac{1}{\sqrt{2}} - \sqrt{\frac{1}{2} + \sqrt{2}} \end{eqnarray}$ kommen soll. Meine Ideen: Ich habe nun schon viel probiert, Gleichungen aufgestellt wie: $\begin{eqnarray} <br /> 1 = 3r +x<br /> 1 = 2r + y + z, <br /> \end{eqnarray}$ wobei x, y, z die Strecken auf den Quadratseiten sind, die übrig bleiben. Auch weiß ich ja, dass die Diagonale des Quadrats $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ sein muss. Ich hab auch probiert, mit dem Strahlensatz auf eine Lösung zu kommen, war aber erfolglos. Könnt ihr mir helfen?
17.01.2015, 12:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Legen wir mal den Koordinatenursprung in die linke untere Ecke. Dann hat der Kreis links unten den Mittelpunkt $\begin{align} (0,1-2r) \end{align}$ , der Kreis ganz unten den Mittelpunkt $\begin{align} (1-\sqrt{2}r,0) \end{align}$ . Der Abstand dieser beiden Mittelpunkte ist $\begin{align} 2r \end{align}$ , damit folgt gemäß Pythagoras $\begin{align} (1-\sqrt{2}r)^2 + (1-2r)^2 = 4r^2 \end{align}$ und die oben angegebene Lösung.
17.01.2015, 12:40	Tomba1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, vielen Dank! Kannst Du mir noch sagen, wie Du auf die erste Koordinate des Mittelpunktes des Kreises ganz unten kommst? Danke! Tomba
17.01.2015, 12:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Mittelpunkte der beiden Kreise ganz unten und ganz rechts bilden gemeinsam mit dem Quadrateckpunkt rechts unten ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse die Länge $\begin{align} 2r \end{align}$ hat, demzufolge sind beide Katheten $\begin{align} \sqrt{2}r \end{align}$ lang.

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