Komplexe Zahlen, Euler und die Exponentialform

17.01.2015, 13:41

Rivago

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Komplexe Zahlen, Euler und die Exponentialform

Hallo

Wink

Ich hab leider schon wieder große Probleme mit den komplexen Zahlen.

Wir haben die algebr./kart. Form und die Polarform/trigonometr. Form bisher kennengelernt. Nun kam in der letzten Vorlesung noch die Exponentialform hinzu.

Dazu steht im Vorlesungsskript folgendes:

"Um erklären zu können, wie es einen Zusammenhang zwischen den bereits aus der Schule bekannten Funktionen Sinus, Kosinus und der e-Funktion gibt, benötigen wir eine Näherungstechnik aus der Analysis (die sog. Taylor-Entwicklung). Diese geben wir im Folgenden an und wenden Sie auf die genannten Funktionen an.

Taylorpolynom: $\begin{eqnarray*} T_{n}f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}f^{k}(0)\cdot x^k \end{eqnarray*}$

Bei e-Funktion, Sinus und Kosinus erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} e^x = \frac{1}{0!} \cdot e^0 \cdot x^0 + \frac{1}{1!} \cdot (e^{x=0})' \cdot x^1 + \frac{1}{2} \cdot (e^{x=0})'' \cdot x^2 + ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +- ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} +- ... \end{eqnarray*}$

"

So steht es im Skript und ich versteh nur Bahnhof traurig

traurig

Kann mir das jemand erklären?

17.01.2015, 14:02

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen, Euler und die Exponentialform
Was möchtest du denn erklärt haben? Das Taylorpolynom oder die daraus entstandenen Reihendarstellungen für e-Funktion, Sinus und Kosinus?

17.01.2015, 14:20

Rivago

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Ach lassen wir das.. das macht über Internet nicht viel Sinn.. Bis ich hier alles geschrieben hab was ich nicht versteh ist es heute Abend um 6.

traurig

traurig

Ich versuch mich an den Übungsaufgaben..

17.01.2015, 14:35

klarsoweit

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OK, wie du meinst. Manchmal hilft ja auch ein Blick in ein Mathe-Buch oder Wiki:
http://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel
Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.01.2015, 14:46

Rivago

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Welches Buch kannst du denn empfehlen?

Ich studier Maschinenbau, falls das relevant ist.

Während des Abis war Mathe echt mein Lieblingsfach und ich hatte auch eine 1 am Ende. Vor dem Studium hatte ich vor Mathe jetzt nicht mega Angst, dass ich es nicht schaffen könnte, da ich ja eigentlich nicht so sehr schlecht beim Abi war. Aber... nach den ersten 2 Vorlesungen trifft mich echt der Schlag unglücklich

unglücklich

traurig

18.01.2015, 12:39

klarsoweit

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Eine echte Empfehlung kann ich nicht geben. Zu meiner Zeit waren die Analysis-Bücher von Forster durchaus eine gute Wahl. Am besten fragst du auch mal deinen Tutor.

Was anderes: die Schreiberei mag vielleicht etwas mühsam sein, aber dafür bekommst du auch (in der Regel) kompetente Antworten. smile

smile

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18.01.2015, 13:41

Rivago

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Okay, ich werde mich nachher mal hinsetzen und aufschreiben, was ich davon nicht versteh. Wird aber erst gegen 6 oder 7 werden.

Bis dann Wink

Wink

18.01.2015, 19:03

Rivago

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RE: Komplexe Zahlen, Euler und die Exponentialform
Taylorpolynom: $\begin{eqnarray*} T_{n}f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}f^{k} \textcolor{red}{(0)}\cdot x^k \end{eqnarray*}$

Als erstes: Was sagt die 0 in der Klammer aus? (die rot markierte)

$\begin{eqnarray*} e^x = \frac{1}{0!} \cdot e^0 \cdot x^0 + \frac{1}{1!} \cdot (e^{x=0})' \cdot x^1 + \textcolor{red}{\frac{1}{2}} \cdot (e^{x=0})'' \cdot x^2 + ... \end{eqnarray*}$

Wie kommt es hier zu 1/2?

Wäre es nicht eher so hier richtig?:

$\begin{eqnarray*} e^x = \frac{1}{0!} \cdot e^0 \cdot x^0 + \frac{1}{1!} \cdot (e^{x=0})' \cdot x^1 + \frac{1}{2!} \cdot (e^{x=0})'' \cdot x^2 + ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \textcolor{red}{1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ...} \end{eqnarray*}$

Wie das alles zustande kommt kann ich nicht nachvollziehen.

$\begin{eqnarray*} sin x = \textcolor{red}{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +- ...} \end{eqnarray*}$

Auch hier kann ich das nicht nachvollziehen. Vorallem: Warum steht da einmal ein +, dann wieder ein - und dann ist es mit +- wieder offen. verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} cos x = \textcolor{red}{1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} +- ...} \end{eqnarray*}$

Auch hier das selbe wie eins oben drüber.

Erstmal bis dahin. Danach kommt noch mehr, aber ich würde gerne erstmal das hier verstehen.

Oh Gott unglücklich

unglücklich

Was ist denn hier passiert? Keine Ahnung warum das so blöd dargestellt wird. Setz ich das Color falsch?

18.01.2015, 19:36

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen, Euler und die Exponentialform
Genau genommen sieht das Taylorpolynom allgemein so aus: $\begin{eqnarray*} T_{n}f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0) \cdot (x-x_0)^k \end{eqnarray*}$

Dabei wird die Taylorentwicklung um die Stelle x_0 durchgeführt. Nimmt man x_0=0 (was relativ häufig der Fall ist), so kommt man zu $\begin{eqnarray*} T_{n}f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}f^{(k)}(0) \cdot x^k \end{eqnarray*}$

Dabei bedeutet $\begin{eqnarray*} f^{(k)}(0) \end{eqnarray*}$ den Funktionswert der k-ten Ableitung der Funktion f(x) an der Stelle x=0. (Es wird vereinbart, daß $\begin{eqnarray*} f^{(0)}(x) := f(x) \end{eqnarray*}$ ist.)

Vielleicht klären sich damit schon mal ein paar Fragen.
Den Latex-Code für farbliche Hervorhebung habe ich im Moment nicht drauf. Er geht jedenfalls anders. smile

smile

18.01.2015, 19:52

URL

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RE: Komplexe Zahlen, Euler und die Exponentialform
$\begin{eqnarray*} T_{n}f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}f^{(k)}(\textcolor{red}{0}) \cdot x^k \end{eqnarray*}$

code:
1:	\textcolor{red}{0}

18.01.2015, 22:19

Rivago

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Danke für den Hinweis URL.

@klarsoweit

Ich hab meinen Beitrag editiert. Wenn du magst kannst du ja jetzt nochmal drüber gucken und versuchen, es mir dummen zu erklären Big Laugh

Big Laugh

19.01.2015, 10:47

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen, Euler und die Exponentialform
Zum Taylorpolynom und der "roten" Null hatte ich ja schon was gesagt.

Zitat:

Original von Rivago
$\begin{eqnarray*} e^x = \frac{1}{0!} \cdot e^0 \cdot x^0 + \frac{1}{1!} \cdot (e^{x=0})' \cdot x^1 + \textcolor{red}{\frac{1}{2}} \cdot (e^{x=0})'' \cdot x^2 + ... \end{eqnarray*}$

Wie kommt es hier zu 1/2?

Wäre es nicht eher so hier richtig?:

$\begin{eqnarray*} e^x = \frac{1}{0!} \cdot e^0 \cdot x^0 + \frac{1}{1!} \cdot (e^{x=0})' \cdot x^1 + \frac{1}{2!} \cdot (e^{x=0})'' \cdot x^2 + ... \end{eqnarray*}$

Nun ja, bekanntlich ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2!} = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ . Aber in der Tat wäre es vielleicht etwas durchgängiger, 2! statt 2 zu verwenden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Anmerkung: die Schreibweise $\begin{eqnarray*} (e^{x=0})' \end{eqnarray*}$ ist etwas ungewöhnlich, aber man weiß (hoffentlich), was gemeint ist.

Zitat:

Original von Rivago
$\begin{eqnarray*} = \textcolor{red}{1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ...} \end{eqnarray*}$

Wie das alles zustande kommt kann ich nicht nachvollziehen.

Es ist nun mal:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{0!} \cdot e^0 \cdot x^0 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1!} \cdot (e^{x=0})' \cdot x^1 = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2!} \cdot (e^{x=0})'' \cdot x^2 = \frac{x^2}{2!} \end{eqnarray*}$ etc.

Ähnliches ergibt sich auch für die Reihen von sin(x) und cos(x).

19.01.2015, 16:35

Rivago

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RE: Komplexe Zahlen, Euler und die Exponentialform

Zitat:

Nun ja, bekanntlich ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2!} = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ . Aber in der Tat wäre es vielleicht etwas durchgängiger, 2! statt 2 zu verwenden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja, zumindest mir hilft es. Finde es jetzt verständlich Freude

Freude

Zitat:

Anmerkung: die Schreibweise $\begin{eqnarray*} (e^{x=0})' \end{eqnarray*}$ ist etwas ungewöhnlich, aber man weiß (hoffentlich), was gemeint ist.

Die erste Ableitung, oder? Im Prinzip steht ja da $\begin{eqnarray*} f'(x) = e^0 \end{eqnarray*}$ und das ist ja 1. Oder wie meinst du das?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1!} \cdot (e^{x=0})' \cdot x^1 = x \end{eqnarray*}$

Also steht da $\begin{eqnarray*} 1 \cdot 1 \cdot x \end{eqnarray*}$

??

Okay, das hab ich jetzt verstanden.

$\begin{eqnarray*} sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +- ... \end{eqnarray*}$

Aber warum steht hier ein x und keine 1 am Anfang? Warum ist zwischen dem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{3!} \end{eqnarray*}$ ein Minus? Gefolgt von einem Plus und danach wieder Minus. Und danach ist es mit Plus/Minus wieder offen.
Und welchen Grund hat es, dass hier nur die ungeraden Zahlen (3, 5 und 7) stehen? Was würde nach der 7 kommen? Die 11?

$\begin{eqnarray*} cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} +- ... \end{eqnarray*}$

Warum steht hier wieder die 1, so wie bei der e-Funktion? Warum ist da ein Minus zwischen der 1 und $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{2!} \end{eqnarray*}$ ? Warum folgt danach wieder ein Plus, danach wieder Minus und dann ist es mit Plus/Minus wieder offen?
Welchen Grund hat es, dass hier die geraden Zahlen (2, 4 und 6) stehen? Als nächstes würde die 8 kommen, richtig?

20.01.2015, 09:36

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen, Euler und die Exponentialform

Zitat:

Original von Rivago

Zitat:

Anmerkung: die Schreibweise $\begin{eqnarray*} (e^{x=0})' \end{eqnarray*}$ ist etwas ungewöhnlich, aber man weiß (hoffentlich), was gemeint ist.

Die erste Ableitung, oder? Im Prinzip steht ja da $\begin{eqnarray*} f'(x) = e^0 \end{eqnarray*}$ und das ist ja 1. Oder wie meinst du das?

Im Prinzip ja, ganz genau geht es um den Wert der 1. Ableitung an der Stelle x=0, also: $\begin{eqnarray*} f'(0) = e^0 \end{eqnarray*}$ mit f(x)=e^x .

Zitat:

Original von Rivago

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1!} \cdot (e^{x=0})' \cdot x^1 = x \end{eqnarray*}$

Also steht da $\begin{eqnarray*} 1 \cdot 1 \cdot x \end{eqnarray*}$

??

Ja.

smile

Zitat:

Original von Rivago
$\begin{eqnarray*} sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +- ... \end{eqnarray*}$

Aber warum steht hier ein x und keine 1 am Anfang? Warum ist zwischen dem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{3!} \end{eqnarray*}$ ein Minus? Gefolgt von einem Plus und danach wieder Minus. Und danach ist es mit Plus/Minus wieder offen.
Und welchen Grund hat es, dass hier nur die ungeraden Zahlen (3, 5 und 7) stehen? Was würde nach der 7 kommen? Die 11?

Da helfen mehrere scharfe Blicke auf die Taylorformel (was für einen Studenten durchaus auch zumutbar ist.)
Erstmal: warum sollte da eine 1 stehen? Der erste Summand der Taylorreihe ist f(0) (sofern um die Stelle 0 entwickelt wird). Und sin(0) ist nun mal Null.
Die nächsten Summanden sind $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1!} \cdot f'(0) \cdot x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2!} \cdot f''(0) \cdot x^2 \end{eqnarray*}$ . Jetzt bestimme mal f'(0) und f''(0).
Im übrigen ist die nächste ungerade Zahl nach der 7 die 9. smile

smile

20.01.2015, 17:36

Rivago

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Also muss ich erstmal die Ableitung von sin x bilden?

21.01.2015, 08:51

klarsoweit

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Exakt. (Das hättest du bei der Entwicklung der e-Funktion ja auch schon machen müssen.) smile

smile

22.01.2015, 16:41

Rivago

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Hallo klarsoweit,

ich werde das Thema erstmal kurz ruhen lassen und mich Samstag (evtl. aber auch morgen) wieder melden, da ich mich auch mal wieder um die anderen Vorlesungen kümmern muss.

Bis später Wink

Wink

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