Ableitung

17.01.2015, 14:48

Invers

Ableitung

Ich hab folgende Aufgabe, f(x)=(3x³+2)² welche einmal abgeleitet werden muss.
Meine Idee war die Potenz erst ² erstmal reinzunehmen, also
$\begin{eqnarray*} f(x)=3x^{5}+4 \end{eqnarray*}$
Und dies einmal abgeleitet
$\begin{eqnarray*} f'(x)=15x^{4} \end{eqnarray*}$

Allerdings hat ein Ableitungsrechner mir folgendes ausgerechnet $\begin{eqnarray*} 18x²*(3x³+2) \end{eqnarray*}$
Und den Rechenweg kann ich nicht ganz nachvollziehen... kann mir jemand erklären, wie ich darauf komme??

17.01.2015, 14:52

Mathema

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Oje - da steht eine binomische Formel. Es ist wohl:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^2 \neq a^2+b^2 \end{eqnarray*}$

Zudem ist nach Potenzgesetzen auch:

$\begin{eqnarray*} (3x^3)^2 \neq 3x^5 \end{eqnarray*}$

Da ist wohl so alles schief gelaufen, was verkehrt gehen konnte.

Zum Thema:

Sagt dir die Kettenregel etwas?

17.01.2015, 14:53

Bjoern1982

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Zunächst mal herzlich willkommen im Matheboard, Invers

Das mit dem "reinnehmen" stimmt für 3x³ nicht, denn da hast du offenbar lediglich die 2 zum Exponenten 3 dazu addiert.
Denke bei (3x³+2)² lieber an die 1. binomische Formel oder stelle es dir von mir aus auch als (3x³+2)(3x³+2) vor und multipliziere die Klammer aus.

Alternativ wäre es hier übrigens auch noch möglich, die Kettenregel zu benutzen - falls bekannt.

17.01.2015, 15:04

Invers

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Denke bei (3x³+2)² lieber an die 1. binomische Formel oder stelle es dir von mir aus auch als (3x³+2)(3x³+2) vor und multipliziere die Klammer aus.

Stimmt, darauf hätte man kommen müssen...

$\begin{eqnarray*} 9x^{6}+6x^{3}+6x^{3}+4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 9x^{6}+12x^{3}+4 \end{eqnarray*}$

Die Kettenregel sagt mir noch nicht. Hab mich eben mal versucht reinzulesen, es wird also die äußerste Funktion mit der innersten multipliziert? Wenn ich jedoch bei diesem Beispiel die binomische Formel anwende, ist dies ja nicht mehr notwendig, richtig?

17.01.2015, 15:06

Bjoern1982

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Zitat:

Wenn ich jedoch bei diesem Beispiel die binomische Formel anwende, ist dies ja nicht mehr notwendig, richtig?

Richtig.

17.01.2015, 15:16

Invers

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Und rein zum Verständnis, da ja nicht alle Aufgaben so eindeutig werden.

Def.: $\begin{eqnarray*} f(x)=g(h(x)) \rightarrow f'(x)=g'(h(x))*h'(x) \end{eqnarray*}$

Die äußerste Funktion, also $\begin{eqnarray*} g(x)=x² \rightarrow g'(x)=2x \end{eqnarray*}$
Die innerste $\begin{eqnarray*} h(x)=3x³+2 \rightarrow h'(x)=9x² \end{eqnarray*}$

Nun in die Ausgangsgleichung einsetzen:
$\begin{eqnarray*} 2x(3x³+2)+9x² \end{eqnarray*}$

Und da sieht am Anfang das 2*x schon komisch aus. Hab mir ein Beispiel eben angesehen, da wurde das x nicht mit reingenommen. Also $\begin{eqnarray*} 2(3x³+2)+9x² \end{eqnarray*}$ Wieso?

17.01.2015, 15:21

Complexi

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Die binomische Formel kann man sich tatsächlich am einfachsten merken, indem man sie einfach ausrechnet:

$\begin{eqnarray*} (\color{red}{a} \color{black}{+}\color{blue}{b}\color{black})\cdot (\color{green}{a}\color{black}{+} \color{magenta}{b} \color{black}) = {\color{red} a} \cdot {\color{green}a} + {\color{red} a}\cdot {\color{magenta}{b}}+{\color{blue}b}\cdot{\color{green}a} + {\color{blue}b}\cdot{\color{magenta}b}=a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$ .

Die Kettenregel sagt eigentlich nur (in entsprechend verallgemeinerter Form):

Wenn man anstatt x 5x in f(x) einsetzt, also statt f(x) $\begin{eqnarray*} g(x)=f(5x) \end{eqnarray*}$ betrachtet, dann steigt g fünfmal so schnell an wie f. Logisch, denn schließlich ändert sich auch das Funktionsargument fünfmal so schnell.

17.01.2015, 16:02

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2(3x³+2)+9x² \end{eqnarray*}$ Wieso?

Nicht PLUS 9x² sondern MAL 9x².

Und g'(h(x)) bedeutet eben, dass man den Term für h(x) in den Term von g'(x) einsetzt.
Und wenn du in 2x für das x eben die innere Funktion h(x)=3x³+2 einsetzt, so entsteht 2(3x³+2).
Einsetzen heißt ja in gewissem Sinne auch etwas ersetzen, deswegen kannst du in 2x jetzt nicht einfach 3x³+2 dazu schreiben, sondern das x wird eben durch 3x³+2 ersetzt.
Ähnlich läuft es ja auch wenn du für f(x)=x²+6x von mir aus f(5) bildest.
Das bedeutet ja nichts anderes, als dass man an jede Stelle, wo ein x steht, den Wert 5 einsetzt, also demnach f(5)=5²+6*5.

17.01.2015, 16:14

Invers

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Nicht PLUS 9x² sondern MAL 9x².

Hatte mich verschrieben. Ergibt sich ja aus der Definition.

Und den Rest hab ich soweit auch verstanden. Vielen Dank für die gute Hilfe!

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