Aufgaben zur multivariaten Dichte

17.01.2015, 14:52	Hallagar	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgaben zur multivariaten Dichte Meine Frage: Moin moin, nach wie vor bin ich am Lernen für meine Stochastik-Klausur und hänge bei den multivariaten Verteilungen bzw. der multivariaten Dichte. Die Aufgabe lautet: Wir betrachten die Funktion: $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^{2} \rightarrow \mathbb R, (x,y) \rightarrow f(x,y) = \begin{pmatrix} Ne^{-\alpha x - \beta y}, \text{ für} x>0, y>0 \\ 0, \text{ sonst} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (sorry, weiß leider nicht wie 'ne mehrzeilige geschweifte Klammer geht), wobei $\begin{eqnarray} \alpha , \beta > 0 \end{eqnarray}$ Parameter sind und $\begin{eqnarray} N \in \mathbb R \end{eqnarray}$ eine Normierungskonstante. a) Für welchen Wert von N ist f eine multivariate kontinuierliche Dichte? b) Bestimmen sie die multivariate Verteilungsfunktion die zu f korrespondiert! c) Wenn Sie das Ergebnis aus b) mit der Verteilungsfunktion der (univariaten) Exponentialverteilung vergleichen, was erkennen Sie? Meine Ideen: Wichtig ist für mich Aufgabe a) ... Wie ich überprüfe, ob eine multivariate Verteilungsfunktion wirklich eine ist, das weiß ich. Aber bei 'ner Dichtefunktion habe ich auch kein Beispiel gefunden, an dem ich versuchen könnte mich zu orientieren. Meine Überlegung war, dass ich ja 3 Eigenschaften nachweisen muss: 1.) $\begin{eqnarray} f_X(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ 2.) $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} \! f_X(x) \, dx = 1 \end{eqnarray}$ 3.) $\begin{eqnarray} F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} \! f_X(y) \, dy, \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ 1.) Ist ja einfach beantwortet: Solange N positiv ist, denn die e-Funktion nimmt ja nur positive Werte an. 2. & 3.) Hier (und auch beim 3. Punkt) hakt es jedoch, weil ich leider keinen Schimmer hab wie ich jetzt die Funktion mit mehreren Variablen integrieren muss. $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} \! f_{X,Y}(x,y) \, dxdy = 1 \end{eqnarray}$ Wenn ich wüsste wie das funktioniert, dann wäre 3. logischweise auch machbar. Leider finde ich dazu nichts, was mir weiterhilft. Daher wäre ich hier für eine Hilfestellung/Erklärung äußerst dankbar! Was b) betrifft, so habe ich überhaupt keinen Schimmer, wie ich das zeigen soll. Aber das wäre für mich auch nicht soooo wichtig. Bedeutender, um multivariate Verteilungen überhaupt zu verstehen, ist halt dass ich begreife wie man über mehrere Variablen integriert/differenziert. :/ Vielen Dank schonmal für eventuelle Hilfe! Viele Grüße, Hallagar.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »