Kegelstumpf + Spitze mit gleichem Volumen. Wie gross ist deren Höhe?

17.01.2015, 17:05

layle

Kegelstumpf + Spitze mit gleichem Volumen. Wie gross ist deren Höhe?

Meine Frage:
Auf welcher Höhe müsste man einen Kegel parallel zur Grundfläche durchschneiden, damit Stumpf und Kegel gleiches Volumen haben?
r (Bodenfläche des Kegelstumpfes) = 6cm
h (Gesamthöhe vom Stumpf und Spitz) = 10cm

Das Volumen habe ich bereits berechnet und zwar so:
$\begin{eqnarray*} G= 6^{2}\pi = 113.10cm^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V= (113.10*10)/3 = 376.99cm^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V= 376.99 / 2 = 188.50cm^{3} \end{eqnarray*}$

Also ist das Volumen des Stumpfes und der Spitze $\begin{eqnarray*} 188.50cm^3 \end{eqnarray*}$ .
Wie rechnet man nun die Höhe des Stumpfes und der Spitze aus?

Meine Ideen:
Man könnte die Höhe des Stumpfes ausrechnen und das Resultat mit der Gesamthöhe (10cm) subtrahieren.

17.01.2015, 17:40

Mathema

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Na - das erledigt doch der Strahlensatz recht schnell.

Nennen wir die Höhe des Kegels nach durchschneiden H, ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \frac{h^3}{H^3}=\frac{V}{\frac{1}{2}V} \end{eqnarray*}$

Wink

17.01.2015, 17:51

layle

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Zitat:

Original von Mathema
Na - das erledigt doch der Strahlensatz recht schnell.

Nennen wir die Höhe des Kegels nach durchschneiden H, ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \frac{h^3}{H^3}=\frac{V}{\frac{1}{2}V} \end{eqnarray*}$

Wink

Ok hab kein Plan was die Formel da bedeutet und was der Strahlensatz ist.
Kannst du mir das erklären und einen Rechnungsweg aufschreiben mit den Erklärungen damit ich das wirklich verstehe?

17.01.2015, 18:33

Mathema

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Ich wage es doch sehr zu bezweifeln, dass ihr mittlerweile bei Körperberechnung seid, und du heute das erste Mal das Wort Strahlensatz hörst (zumindest Strecken ins Verhältnis setzen solltest du kennen).

Nun ja - was sagt der Strahlensatz also aus?

Das Volumen des großen Kegels (vor der Teilung) verhält sich zum Volumen des kleinen Kegels (nach der Teilung), wie die entsprechenden Höhen hoch 3.

Wenn du diesen Satz mathematisch einmal übersetzt, landest du eben bei meiner Gleichung. Diese müsstest du eben nur noch nach H auflösen.

Möglicherweise ist es aber dann wohl doch besser, du vergisst diese Formel und wir überlegen es uns noch mal mit dem Strahlensatz, der keine Volumina ins Verhältnis setzt, sondern ausschließlich Strecken. Gehe also noch mal tief in dich und überlege, ob dir die Begriffe erster und zweiter Strahlensatz nicht doch etwas sagen?! Wenn das der Fall ist, können wir gerne beide Wege einmal durchspielen - wenn du das möchtest.

17.01.2015, 18:44

layle

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Tut mir leid aber nein die Strahelnsätze haben wir noch nicht gelernt. Wir sind gerade erst bei den Kegeln angekommen...

Kann es aber sein das die Höhe des Stumpfes 2cm ist?

17.01.2015, 18:53

Mathema

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Ich weiß aber leider gerade nicht, wie man diese Aufgabe ohne Strahlensatz lösen kann. Da man diese für die Körperberechnung braucht, sind die Strahlensätze auch laut Lehrplan in Klassenstufe 8 zu thematisieren, während die Körperberechnung eben in Klassenstufe 9 Thema ist.

Wollen mir uns das also trotzdem mit Strahlensatz angucken? Ansonsten müsstest du abwarten, ob jemanden noch etwas ohne einfällt. Mir fällt wie gesagt gerade keine zweite Möglichkeit ein.

Oder sagt dir der Begriff "ähnliche Dreiecke" etwas?

17.01.2015, 19:18

layle

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Ich glaube wir können uns das mit dem Strahlensatz anschauen. Danke! Und mir ist gerade eingefallen das unser Lehrer gesagt hat das man den Strahlensatz kennen muss aber den werden wir später lernen.

17.01.2015, 19:25

Mathema

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Was ist das denn für eine Logik? verwirrt

Nun gut - bleiben wir mal bei diesem Bild (siehe Anhang). Nennen wir die die Höhe des großen Kegels mit h und den Radius mit R und die Höhe des kleinen Kegels mit H und den Radius mit r.

Dann ergibt sich nach zweiten Strahlensatz:

$\begin{eqnarray*} \frac{H}{h}=\frac{r}{R} \end{eqnarray*}$

Kannst du diese Gleichung mal nach r auflösen und das Volumen des großen Kegels als Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ angeben?

edit: Bild vergessen. Dank an Wikipedia.

17.01.2015, 19:37

layle

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Bin mir nich ganz sicher aber das sollte stimmen:
$\begin{eqnarray*} r=R(H:h) \end{eqnarray*}$
Und was meinst du mit dem Vielfachen von PI??

17.01.2015, 19:40

Mathema

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Jo - das passt.

Du hast doch die Volumenformel:

$\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3}\pi r^2h \end{eqnarray*}$

Einsetzen und ausrechnen. Aber eben nicht runden, sondern $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ im Ergebnis stehen lassen.

17.01.2015, 19:51

layle

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Meinst du so:
$\begin{eqnarray*} V=1:3\pi(R(H:h))^{2}h \end{eqnarray*}$
also:
$\begin{eqnarray*} V=1:3\pi(6(H:10))^{2}10 \end{eqnarray*}$

17.01.2015, 20:00

Mathema

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Nein - so meinte ich das nicht, aber diese Gleichung hilft uns gleich weiter. Sie hat nur einen Fehler.

$\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3}\pi(\frac{6H}{10})^{2}\cdot H \end{eqnarray*}$

Wir wollen ja das Volumen des kleinen Kegels hier berechnen. Der hat die Höhe H.

Ich meinte du sollst allgemein das Volumen des großen Kegels berechnen, also:

$\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 10 = 120 \pi \end{eqnarray*}$

Also hat der kleine Kegel ein Volumen von $\begin{eqnarray*} 60 \pi \end{eqnarray*}$ .

Setzen wir das in deine Gleichung ein ergibt sich also:

$\begin{eqnarray*} 60 \pi=\frac{1}{3}\pi(\frac{6H}{10})^{2}\cdot H \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung musst du nun nach H umstellen. Anschließend kannst du das Ergebnis ja mit meiner ersten Gleichung vergleichen - es sollte gerne identisch sein.

17.01.2015, 20:10

layle

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So?
$\begin{eqnarray*} H=\frac{1}{3}\pi(\frac{6*60\pi}{10})^{2}: 60\pi \end{eqnarray*}$

17.01.2015, 21:47

Mathema

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Nein

Wie du darauf kommst ist mir ein Rätsel.

17.01.2015, 21:57

layle

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Sorry bin müde schreib morgen wieder.

18.01.2015, 19:19

layle

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So?
$\begin{eqnarray*} H=\frac{1}{3}\pi(\frac{6*10}{60\pi})^{2}: 60\pi \end{eqnarray*}$

18.01.2015, 19:22

Mathema

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Was machst du da? verwirrt

Du sollst diese Gleichung nach H auflösen:

$\begin{eqnarray*} 60 \pi=\frac{1}{3}\pi(\frac{6H}{10})^{2}\cdot H \end{eqnarray*}$

Fang doch erstmal mit dem Quadrat an und verteile mal den Exponenten. Was erhält du dann?

18.01.2015, 19:28

layle

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Ahaa sry dachte du meinst ich soll die Formel umstellen. OK alles klar.

18.01.2015, 19:37

Mathema

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Nun ja - umstellen oder auflösen, Ziel ist es ja, dass dort steht:

$\begin{eqnarray*} H=... \end{eqnarray*}$

Bist du denn nun ein Schritt weiter?

18.01.2015, 19:38

layle

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$\begin{eqnarray*} H = 7.9370 \end{eqnarray*}$
So?

18.01.2015, 19:49

Mathema

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Ja - das passt! Freude

Wenn wir zur Kontrolle hier noch mal auflösen, ergibt sich ja nach kürzen von V:

$\begin{eqnarray*} \frac{h^3}{H^3}=\frac{V}{\frac{1}{2}V} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{h^3}{H^3}=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h^3=2H^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H^2=\frac{1}{2}h^3 \end{eqnarray*}$

Ziehen wir die dritte Wurzel also:

$\begin{eqnarray*} H=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\cdot h \end{eqnarray*}$

Mit h = 10 cm ergibt sich dann obiger Wert.

Gestern Abend wurde hier übrigens noch eine Erklärung gepostet, die ich dir nicht vorenthalten möchte:

Zitat:

Original von sulo
[...] Also, es geht eigentlich nur darum, dass man das angegebene Verhältnis von r zu h, nämlich 6:10 bzw. 3:5, nutzt, um sofort in der Volumenformel das h zu ersetzen.

Man geht davon aus, dass das Verhältnis von h zu r auch in dem parallel zu Grundfläche abgeschnittenen Teilkegel 3:5 ist.
Dies hat zwar die Strahlensätze zum Hintergrund, ist aber auch ohne deren Kenntnis sofort einleuchtend. Daher denke ich, dass die Aufgabe auf diesem Weg gelöst werden sollte.

Der Vorteil deines Ansatzes ist zweifelsohne, dass man eine allgemeingültige Gleichung hat, um den Teilkegel zu berechnen und dass man die Verhältnisse der Strecken ganz klar nachweisen kann. [...]

Vielleicht hatte dein Lehrer also diesen Gedanken erhofft, auch wenn er (wie erwähnt) auch auf dem Strahlensatz beruht. Nichts anderes haben wir ja aber gemacht, als wir diese Formel hier hergeleitet haben:

$\begin{eqnarray*} 60 \pi=\frac{1}{3}\pi(\textcolor{red}{\frac{6H}{10}})^{2}\cdot H \end{eqnarray*}$

Aber vielleicht hilft es dir ja noch mal beim Verständnis.

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