Verschoben! Basis Quotientenraum, darstellende Matrix

17.01.2015, 23:24	D2109	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis Quotientenraum, darstellende Matrix Hallo liebe Helfer, Zurzeit haben wir in Mathe das Thema Äquivalenzrelation mit allem drum und dran. Leider fällt mir dieses Thema so schwer und deshalb weiß ich leider einfach nicht, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll.. meine Aufgabe lautet: Gegeben seien die Vektoren $\begin{eqnarray} v_1 := \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_2 := \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ im $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ der Untervektorraum von $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ , der von $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ erzeugt wird. Sei $\begin{eqnarray} \pi : \mathbb R^4 \to \mathbb R^4/W \end{eqnarray}$ die Projektion auf den Quotientenvektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb R^4/W \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} e_i \end{eqnarray}$ bezeichnen wir die Standardeinheitsvektoren und für einen Vektor $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} [v] \end{eqnarray}$ die Restklasse von $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb R^4/W \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} B = {e_1, e_2, e_3, e_4} \end{eqnarray}$ die Standardbasis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ . i) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} A = {[e_1], [e_3]} \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^4/W \end{eqnarray}$ ist. ii) Bestimmen Sie die darstellende Matrix von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ bezüglich der Basen $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \mathbb R^4/W \end{eqnarray}$ . Erstmal zu i): Ich weiß ja, dass $\begin{eqnarray} e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist und $\begin{eqnarray} e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist. Doch weiter weiß ich leider echt nicht... Wird bei $\begin{eqnarray} \mathbb R^4/W \end{eqnarray}$ der Untervektorraum $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ ausgeschlossen oder wie habe ich den Ausdruck zu verstehen? Ich hoffe, mir kann jemand Schritt für Schritt bei der Aufgabe helfen... wäre euch sehr sehr dankbar !! :-) Viele Grüße
18.01.2015, 12:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Schritt für Schritt 1. Für einen Untervektorraum $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ eines Vektorraums $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist der Quotientenraum (oder Faktorraum) $\begin{eqnarray} V/W:=\{x+W\|x\in V\} \end{eqnarray}$ ein Vektorraum. 2. $\begin{eqnarray} [x]:=x+W \end{eqnarray}$ heißt Restklasse von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ . Zwei Restklassen $\begin{eqnarray} x+W \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y+W \end{eqnarray}$ sind genau dann gleich, wenn $\begin{eqnarray} x-y\in W \end{eqnarray}$ , sonst sind sie disjunkt. Durch $\begin{eqnarray} x \sim y\Leftrightarrow x-y\in W \end{eqnarray}$ wird eine Äquivalenzrelation auf $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ definiert, deren Äquivalenzklassen gerade die Restklassen $\begin{eqnarray} [x]=x+W \end{eqnarray}$ sind. 3. Die Vektorraumoperationen auf dem Quotientenraum $\begin{eqnarray} V/W \end{eqnarray}$ sind gegeben durch $\begin{eqnarray} [x]+[y]=x+W+y+W:=x+y+W, a[x]=a(x+W):=ax+W \end{eqnarray}$ . 4. Die Dimension des Faktorraums ist $\begin{eqnarray} dim(V/W)=dim(V)-dim(W) \end{eqnarray}$ . 5. Die kanonische Projektion $\begin{eqnarray} \pi:V\to V/W, x\to [x] \end{eqnarray}$ ist ein surjektiver Homomorphismus.

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