Eulersche Relation, Eindeutigkeit

18.01.2015, 14:34

Philosopher

Eulersche Relation, Eindeutigkeit

Hey, es geht um folgendes:

Aufgabe

Zeigen Sie, dass jedes $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C, z \ne 0 \end{eqnarray*}$ , eine eindeutige Darstellung

$\begin{eqnarray*} z = re^{i \varphi} = r(\cos(\varphi) +i \sin(\varphi)) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} r > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \in [0, 2\pi) \end{eqnarray*}$ besitzt.

Meine Ideen

Also mir ist irgendwie schon intuitiv klar, wieso das so ist. Die eulersche Formel $\begin{eqnarray*} e^{iz} = \cos(z) + i \sin(z) \end{eqnarray*}$ darf ich ohne Beweis benutzen. Und die Eindeutigkeit ergibt sich ja aus $\begin{eqnarray*} \varphi \in [0, 2\pi) \end{eqnarray*}$ (ohne diese Voraussetzung gäbe es wohl unendlich viele Darstellungen für $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ ) und den Identitäten $\begin{eqnarray*} \cos (x + 2\pi) = \cos(x), \sin (x + 2\pi) = \sin(x) \end{eqnarray*}$ .

Mir ist das auch rein anschaulich klar, wenn ich mir den Graphen anschaue. Ich bin mir nur unsicher, wie ich das jetzt formal genau aufzuschreiben hab. Wäre schön, wenn mir jemand da helfen könnte.

Danke!

18.01.2015, 21:15

mYthos

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RE: Eulersche Relation, Eindeutigkeit

Zitat:

Original von Philosopher
...
Die eulersche Formel $\begin{eqnarray*} e^{iz} = \cos(z) + i \sin(z) \end{eqnarray*}$ darf ich ohne Beweis benutzen.
...

Na bitte. Setze $\begin{eqnarray*} z = \varphi \end{eqnarray*}$ und multipliziere mit r.
So wird's aber sicher nicht gedacht sein, du solltest präzisieren, was hier eigentlich gemacht werden soll.

mY+

18.01.2015, 22:29

Philosopher

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Danke für deine Antwort.

Die Frage ist hier ja, wieso mit dieser Gleichung jede komplexe Zahl dargestellt werden kann und wieso die Darstellung stets eindeutig ist.

Ich hab bis jetzt folgendes:

Da $\begin{eqnarray*} z \ne 0 \end{eqnarray*}$ , gilt $\begin{eqnarray*} z=|\frac{z}{|z|}|=\frac{z}{|z|}=1 \end{eqnarray*}$ . Außerdem gilt ja nun $\begin{eqnarray*} |e^{i\varphi}|= |\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)|=\cos^{2}(\varphi)+\sin^{2}(\varphi)=1 \end{eqnarray*}$ . Somit steht schon mal fest, dass ich $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} |e^{i\varphi}| \end{eqnarray*}$ darstellen kann.

Setze nun $\begin{eqnarray*} r=|z| \end{eqnarray*}$ . Dann folgt

$\begin{eqnarray*} z=|z| \cdot \frac{z}{|z|}=re^{i\varphi}=r(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)) \end{eqnarray*}$

Also lässt sich jede komplexe Zahl auf diese Weise darstellen. Wäre schön, wenn mir jemand sagen kann, ob das soweit schlüssig ist.

Jetzt muss ich noch die Eindeutigkeit zeigen für $\begin{eqnarray*} \varphi \in [0, 2\pi) \end{eqnarray*}$

Tja, aber wie zeige ich das jetzt?

18.01.2015, 23:04

mYthos

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Nichts, was dagegen spricht, obwohl ich nach wie vor den Anlass nicht sehe, solch einen Beweis zu führen. Komplexe Zahlen können in der Gauß'schen Zahlenebene dargestellt werden. Darin ist auch das kartesische Koordinatensystem abgebildet. So wie dort jeder Punkt in den 4 Quadranten eindeutig dargestellt werden kann, so muss es sich auch für die dorthin weisenden komplexen Zeiger (Vektoren) verhalten.

mY+

18.01.2015, 23:17

10001000Nick1

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Ich finde schon, dass da einiges gegen die Lösung von Philosopher spricht. Z.B. diese Zeile:

Zitat:

Original von Philosopher
Da $\begin{eqnarray*} z \ne 0 \end{eqnarray*}$ , gilt $\begin{eqnarray*} z=|\frac{z}{|z|}|=\frac{z}{|z|}=1 \end{eqnarray*}$ .

Wie kommst du darauf?

Um zu zeigen, dass es für jede Zahl $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb{C}\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} \varphi\in[0,2\pi) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z=re^{i\varphi} \end{eqnarray*}$ gibt, musst du die Existenz und die Eindeutigkeit von solchen $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ zeigen.

Zitat:

Original von Philosopher
Setze nun $\begin{eqnarray*} r=|z| \end{eqnarray*}$ .

Das ist schon eine gute Idee, um zu zeigen, dass ein solches r existiert.

Für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ überlegst du dir auch noch, wie man das angeben könnte (wie man also die Existenz zeigen kann).

Um dann die Eindeutigkeit zu zeigen, nimmst du an, es gibt $\begin{eqnarray*} r_1, r_2, \varphi_1, \varphi_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z=r_1e^{i\varphi_1}=r_2e^{i\varphi_2} \end{eqnarray*}$ und folgerst daraus, dass $\begin{eqnarray*} r_1=r_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi_1=\varphi_2 \end{eqnarray*}$ ist.

18.01.2015, 23:29

mYthos

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Zitat:

Original von Philosopher
...
Da $\begin{eqnarray*} z \ne 0 \end{eqnarray*}$ , gilt $\begin{eqnarray*} z=|\frac{z}{|z|}|=\frac{z}{|z|}=1 \end{eqnarray*}$ .

Davon stimmt lediglich nur $\begin{eqnarray*} |\frac{z}{|z|}|=1 \end{eqnarray*}$ , sorry, das hatte ich übersehen.

18.01.2015, 23:43

Philosopher

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Ja, stimmt. Totaler Lapsus beim tippen. Was ich meinte, war

Zitat:

Original von Philosopher

Da $\begin{eqnarray*} z \ne 0 \end{eqnarray*}$ , gilt $\begin{eqnarray*} |\frac{z}{|z|}|=\frac{|z|}{|z|}=1 \end{eqnarray*}$ .

Das sollte aber passen.

18.01.2015, 23:48

mYthos

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Ja, ist richtig.

19.01.2015, 18:36

Philosopher

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Ok, also ich komm nicht wirklich weiter.

Wenn ich das richtig verstehe, ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ doch der Winkel zwischen $\begin{eqnarray*} |z| \end{eqnarray*}$ und der $\begin{eqnarray*} Re(z) \end{eqnarray*}$ -Achse in der Gauß'schen Zahlenebene. Und wie zeige ich jetzt, dass dieses $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ existiert und dass es eindeutig ist? Mir scheint der Zusammenhang noch nicht wirklich klar zu sein...

19.01.2015, 22:18

Philosopher

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Ok, ich hab mir jetzt folgendes überlegt.

Sei $\begin{eqnarray*} z=a+i \cdot b \end{eqnarray*}$ Setze $\begin{eqnarray*} r=|z| \end{eqnarray*}$ . Dann folgt

$\begin{eqnarray*} z=|z| \cdot \frac{z}{|z|}=re^{i\varphi}=r(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)) = |z|(\cos(\varphi) +i\sin(\varphi)) \Rightarrow a=Re(z)=|z|\cos(\varphi) \text{ und } b=Im(z)=|z|\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$

Bringt mich das irgendwie weiter?

20.01.2015, 01:19

mYthos

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Existenz von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ :
Realteil und Imaginärteil hast du geschrieben, und diese stehen fest. Gemeinsam mit |z|, welches ebenfalls existiert, kann $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ mittels der Umkehrfunktionen von sin bzw. cos dargestellt werden ...

Eindeutigkeit:
Siehe den Post von 10001000Nick1, verfolge diesen Weg!

mY+

20.01.2015, 14:29

Philosopher

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Oh, danke für den Hinweis mit der Umkehrfunktion, das leuchtet ein!

Also:

$\begin{eqnarray*} |z| \cdot \cos(\varphi) &=& a \Leftrightarrow \cos(\varphi) &=& \frac{a}{|z|} \Leftrightarrow \arccos(\frac{a}{|z|}) &=& \varphi \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} |z| \cdot \sin(\varphi) &=& b \Leftrightarrow \sin(\varphi) &=& \frac{b}{|z|} \Leftrightarrow \arcsin ( \frac{b}{|z|} ) &=& \varphi \Rightarrow \varphi \text{ existiert} \end{eqnarray*}$

Zur Eindeutigkeit:

Das lässt sich ja durch ein wenig Umformen hinbekommen. Ich formuliere das mal als Widerspruchsbeweis.

Annahme:

Seien $\begin{eqnarray*} r_1, r_2 > 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r_1 \ne r_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi_1, \varphi_2 \in [0, 2\pi) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi_1 \ne \varphi_2 \end{eqnarray*}$ . Es gelte $\begin{eqnarray*} z=r_1 e^{i\varphi_1}=r_2 e^{i\varphi_2} \end{eqnarray*}$ .

Dann folgt:

$\begin{eqnarray*} r_1 e^{i\varphi_1}=r_2 e^{i\varphi_2} \Leftrightarrow (r_1)^2 (e^{i\varphi_1})^2=(r_2)^2 (e^{i\varphi_2})^2 \Leftrightarrow (r_1)^2 \cdot 1=(r_2)^2 \cdot 1 \Leftrightarrow r_1 =r_2 \Rightarrow \text{ Widerspruch} \end{eqnarray*}$

Ersetze $\begin{eqnarray*} r_1, r_2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r e^{i\varphi_1}=r e^{i\varphi_2} \Leftrightarrow e^{i\varphi_1}= e^{i\varphi_2} \Leftrightarrow (e^i)^{\varphi_1}= (e^i)^{\varphi_2} \Leftrightarrow \varphi_1=\varphi_2 \Rightarrow \text{ Widerspruch} \Rightarrow r \text{ und } \varphi \text{ sind eindeutig.} \end{eqnarray*}$

Passt das so?

21.01.2015, 02:55

mYthos

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Eindeutigkeit ist klar, die Gleichheit von r nicht.
Das Quadrat von $\begin{eqnarray*} e^{i \varphi} \end{eqnarray*}$ ist nicht 1, wie kommst du darauf?

Die Gleichheit des Winkels würde dann (von r ausgehend) passen.

mY+

21.01.2015, 14:40

Philosopher

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Das hab ich einfach aus meinem Vorlesungsskript übernommen. Kann sein, dass ich die Stelle missverstehe. Ich zitiere mal:

Zitat:

Wir untersuchen nun Sinus und Cosinus als Funktionen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Die wichtigste Beobachtung hierbei ist, dass die komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} e^{ix} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ immer Betrag Eins hat:

$\begin{eqnarray*} |e^{ix}|^2=e^{ix} \overline{e^{ix}}=e^{ix}e^{-ix}=1 \end{eqnarray*}$

Und daher hab ich angenommen, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und den Ausdruck quadriert, um sicherzustellen, dass es sich um 1 und nicht -1 handelt.

Ich hab aber eben gesehen, dass das quatsch ist, denn

$\begin{eqnarray*} r_1 e^{i\varphi_1}=r_2 e^{i\varphi_2} \Leftrightarrow (r_1e^{i\varphi_1})^2=(r_2e^{i\varphi_2})^2 \ne (r_1)^2 (e^{i\varphi_1})^2=(r_2)^2 (e^{i\varphi_2})^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt stellt sich die Frage, wie $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ gewählt sein muss, damit $\begin{eqnarray*} e^{i\varphi}=1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das überhaupt richtig verstanden habe....

Edit: oder dann so

$\begin{eqnarray*} r_1 e^{i\varphi_1}=r_2 e^{i\varphi_2} \Leftrightarrow \frac{e^{i\varphi_1}}{r_2}=\frac{e^{i\varphi_2}}{r_1} \Leftrightarrow (\frac{e^{i\varphi_1}}{r_2})^2=(\frac{e^{i\varphi_2}}{r_1})^2 \Leftrightarrow \frac{1}{r_{2}^{2}}=\frac{1}{r_{1}^{2}} \Leftrightarrow r_2=r_1 \end{eqnarray*}$

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