Ungleichungen Sinus

18.01.2015, 15:29	Cyvasse	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichungen Sinus Hi, ich hatte diese Aufgabe in einem anderen Thread schon nebenbei erwähnt (glücklicherweise konnte ich mir jetzt das Vorlesungsskript organisieren), und würde die hier jetzt gerne genauer besprechen. Aufgabe $\begin{eqnarray} \|\sin(nx)\| \le n\|\sin(x)\| \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass die Ungleichung $\begin{eqnarray} \|\sin(ax)\| \le a\|\sin(x)\| \end{eqnarray}$ nicht für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a > 0 \end{eqnarray}$ richtig ist. Meine Ideen Beim ersten Teil hatte HAL 9000 mich schon darauf hingewiesen, dass das mit Additionstheorem und Vollständiger Induktion recht simpel ist (danke dafür) und jetzt hab ich das folgendermaßen bewiesen (hoffe ich): $\begin{eqnarray} A(n): \|\sin(nx)\| \le n\|\sin(x)\| \end{eqnarray}$ Beweis mittels vollständiger Induktion: IA: Setze $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\sin(1 \cdot x)\| \le 1 \cdot \|\sin(x)\| \end{eqnarray}$ , trivialerweise. IS: Sei $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Es gelte $\begin{eqnarray} A(n) \end{eqnarray}$ . Zu zeigen ist nun $\begin{eqnarray} \|\sin((n+1)x)\| \le (n+1)\|\sin(x)\| \end{eqnarray}$ Beweis mittels Additionstheorem: $\begin{eqnarray} \|\sin((n + 1)x)\| = \|\sin(nx) \cos(x) + \cos(nx) \sin(x)\| <br /> \le \|\sin(nx)\| \cdot \|\cos x\| + \|\cos(nx)\| \cdot \|\sin x\| <br /> \le \|\sin(nx)\| + \|\sin x\| \overbrace{\le}^{IV} n\|\sin x\| + \|\sin x\| = (n + 1)\|\sin x\| \end{eqnarray}$ Ich denke das passt. Der zweite Teil scheint etwas kniffliger zu sein. Oder vielleicht auch nicht. Meine erste Eingebung war jetzt einfach ein Gegenbeispiel zu zeigen. Wie dieses: $\begin{eqnarray} \pi \cdot \|\sin(1)\| > \|\sin(\pi)\| \end{eqnarray}$ Reicht das schon, um die Behauptung zu zeigen?
18.01.2015, 15:47	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichungen Sinus Der erste Teil stimmt. Für den zweiten Teil ein Gegenbeispiel anzugeben ist eine gute Idee Alerdings sehe ich nicht, warum das eines sein soll. Edit. Jetzt habe ich es auch gesehen
18.01.2015, 15:55	Cyvasse	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Um ehrlich zu sein, hab ich einfach n bisschen mit WolframAlpha rumgespielt, um auf diese Ungleichung zu stoßen Ich sollte mein Beispiel wahrscheinlich schon beweisen. Muss das dann mit Hilfe der Definition, also $\begin{eqnarray} \sin(z) = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \end{eqnarray}$ passieren oder wie mach ich das?
18.01.2015, 16:03	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus meiner Sicht gibt es da nichts zu beweisen. Die rechte Seite ist Null, die linke nicht, weil 1 keine der bekannten Nullstelle des Sinus ist. Fertig. Das wäre übrigens auch die Idee gewesen, um ohne Wolframalpha ein Gegenbeispiel zu finden: $\begin{eqnarray} x=\pi, a=1/2 \end{eqnarray}$ würde genauso funktionieren.
18.01.2015, 16:04	Cyvasse	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr einleuchtend! Vielen Dank.

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