Monotonie

18.01.2015, 16:30

Lukases2

Monotonie

Ich habe leider so gar keinen Ansatz, wie das zeigen kann. Eventuell über eine Fallunterscheidung? Vollsstädige Induktion?

19.01.2015, 12:18

Lukases2

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Folgendes habe ich mir überlegt:

Monoton wachsend heißt ja:
$\begin{eqnarray*} f'(a) \leq f'(b) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$

Wenn ich mir jetzt den Fall $\begin{eqnarray*} a:=-2,b:=-1,f'(x):=-x \end{eqnarray*}$ anschaue, dann erhalte ich den Widerspruch $\begin{eqnarray*} 2 \leq 1 \end{eqnarray*}$ , womit $\begin{eqnarray*} f'(x)=-x \end{eqnarray*}$ nicht monoton wachsend ist.

Denke ich die in die richtige Richtung? Wie kann ich das jetzt allgemeiner formulieren?

19.01.2015, 12:24

IfindU

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Verifiziere, dass für a < b die Werte $\begin{eqnarray*} f(a), f(b) \end{eqnarray*}$ das Vorzeichen des entsprechenden Differenzenquotienten bereits festlegen. Die Beobachtung kombiniert mit dem Mittelwertsatz liefert dann die entsprechende Aussage.

19.01.2015, 12:52

Lukases2

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Zitat:

Verifiziere, dass für a < b die Werte $\begin{eqnarray*} f(a), f(b) \end{eqnarray*}$ das Vorzeichen des entsprechenden Differenzenquotienten bereits festlegen.

Wie genau kann ich das verifizieren?

Zitat:

dem Mittelwertsatz

Soweit ich weiß gibt es doch gar nicht den Mittelwertsatz, oder?
Ich denke mal, du willst auf diesen hinaus:
$\begin{eqnarray*} \exists x_0 \in (a,b):f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$

Wenn ich also das Vorzeichen und die Steigung habe, dann kann ich eine Aussage zur Monotonie machen?

19.01.2015, 14:38

IfindU

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Genau. Mit dem Differenzenquotienten meinte ich genau den rechten Bruch. Wenn der Nenner positiv ist, dann ist der Bruch negativ wenn $\begin{eqnarray*} f(b) < f(a) \end{eqnarray*}$ und positiv wenn $\begin{eqnarray*} f(b) > f(a) \end{eqnarray*}$ . Damit überträgt sich die Monotonie auf den Differenzenquotienten und mit Limesübergang/ Mittelwertsatz wirkt sich das auf die Ableitung aus.

19.01.2015, 15:11

Lukases2

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Zitat:

Wenn der Nenner positiv ist, dann ist der Bruch negativ wenn $\begin{eqnarray*} f(b) < f(a) \end{eqnarray*}$ und positiv wenn $\begin{eqnarray*} f(b) > f(a) \end{eqnarray*}$

Das habe ich mal versucht zu veranschaulichen:

$\begin{eqnarray*} \text{Nenner positiv } \rightarrow \text{ Bruch negativ für } f(b) < f(a)\\<br /> \text{Nenner positiv } \rightarrow \text{ Bruch positiv für } f(b)>f(a) \end{eqnarray*}$
Habe ich das so richtig verstanden? Was ist denn, wenn der Nenner negativ wird?

Zitat:

und mit Limesübergang/ Mittelwertsatz wirkt sich das auf die Ableitung aus.

Das habe ich glaube ich nicht ganz verstanden. inwiefern wirkt sich das aus?

19.01.2015, 15:35

IfindU

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Machen wir es mal langsamer. Du willst monoton wachsend zeigen, d.h. aus $\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} f(a) \leq f(b) \end{eqnarray*}$ . Nun ist $\begin{eqnarray*} a < b \iff b - a > 0 \end{eqnarray*}$ , das ist gerade der Nenner im Differenzenquotient. Das heisst um $\begin{eqnarray*} f(a) \leq f(b) \end{eqnarray*}$ zu zeigen, reicht es zu zeigen, dass der Differenzenquotient nichtnegativ ist. Nun verbindet der Mittelwertsatz diesen Differenzenquotient mit der Ableitung. Damit folgt die Hinrichtung. Die Rückrichtung ist sehr ähnlich.

19.01.2015, 16:40

Lukases2

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Ich betrachte nun die Rückrichtung.
monoton wachsend heißt: $\begin{eqnarray*} f(a) < f(b) \Longleftrightarrow f(a)-f(b)<0 \Longleftrightarrow f(b)-f(a)>0 \end{eqnarray*}$
Nun verbindet wieder der Mittelwertsatz die Aussagen: $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$ . Und weil nun sowohl Zähler als auch Nenner nichtnegativ sind, ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ monoton wachsend.

19.01.2015, 16:56

IfindU

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Welche Richtung ist das nun? Du folgerst am Ende nämlich Monotonie.

19.01.2015, 17:49

Lukases2

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Die Folgerung war natürlich quatsch, ich will ja auf $\begin{eqnarray*} f'(x) \leq 0 \end{eqnarray*}$ hinaus. Das wollte ich eigenlich folgern.

19.01.2015, 18:36

IfindU

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Leider reicht da der Mittelwertsatz nicht aus. Damit zeigst du $\begin{eqnarray*} f'(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$ nur für die x, die der Mittelwertsatz für geeignet findet um die Sekantensteigung darzustellen.

Das sieht man schön an $\begin{eqnarray*} f(x) = x^3 \end{eqnarray*}$ . So ist für alle $\begin{eqnarray*} a < b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ der Differenzenquotient $\begin{eqnarray*} \frac { f(b) - f(a) } {b - a } > 0 \end{eqnarray*}$ . Damit kann man nicht folgern, dass $\begin{eqnarray*} f'(x) > 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} f'(x) = 3x^2 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} f'(0) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Für die Rückrichtung nimmst du am besten für jedes x die Definition der Ableitung an der Stelle und argumentierst dann.

20.01.2015, 19:19

Lukases2

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Die Ableitung an einer Stelle lautet:
$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

Was kann ich damit machen?

20.01.2015, 19:30

IfindU

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Da fehlt der Limes für $\begin{eqnarray*} x \to x_0 \end{eqnarray*}$ .

Und mit Monotonie kannst du über das Vorzeichen der rechten Seite für alle x aussagen und damit über das Vorzeichen der linken Seite.

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