Partitielle Integration arctan*x²

18.01.2015, 18:03

rasmus92

Partitielle Integration arctan*x²

Meine Frage:
Ich muss die folgende Funktion integrieren

$\begin{eqnarray*} \int \! arctan(x)*x² \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
als erstes würde ich arctan*1 partitell integrieren. um die eigentliche funktion dann so zu integrieren:
u(x)=x² u'(x)=2x
v(x)=[hier kommt das ergebnis hin, was ich bei der integration mit der narhaften 1 herausbekomme.]
v'(x)=arctan

18.01.2015, 18:10

HAL 9000

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Ich würde es als naheliegender empfinden, die partielle Integration mit $\begin{align*} u(x)=\arctan(x),v'(x)=x^2 \end{align*}$ auszuführen, dann hat man nämlich nach diesem Schritt im Restintegral eine rein rationale Funktion stehen, die man bekannterweise stets im Griff hat.

18.01.2015, 20:45

rasmus92

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Okey, wenn ich es so mache, wie du es vorschlägst, dann bleibe ich bei
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{1+x²}*\frac{1}{3}x³ \, dx \end{eqnarray*}$
hängen und weiß nicht, wie ich es integrieren soll.

18.01.2015, 20:46

Mulder

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Zählergrad größergleich Nennergrad -> Polynomdivision

Und ich schubs den Thread mal in die Analysis.

19.01.2015, 18:37

rasmus92

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Irgendwie funktioniert da gar nichts, von den Sachen, die ihr mir vorgeschlagen habt.

Ich hab im Internet mal nach Integralrechnern geguckt und die Lösung müsste die folgende sein:

$\begin{eqnarray*} \frac{x³*arctan(x)}{3} -\frac{\frac{x²}{2}-\frac{ln(x²+1}{2} }{3} +C \end{eqnarray*}$

Polynomdivision funktioniert nicht. Bzw wie soll mir eine PD bei folgendem Term weiterhelfen?
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}* \int \! \frac{x³}{x²+1} \, dx \end{eqnarray*}$

Eventuell könnte man $\begin{eqnarray*} arctan(x)*x \end{eqnarray*}$ zuerst machen und dann irgendwie mit x multiplizieren? Ich bin komplett ratlos

19.01.2015, 18:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von rasmus92
Irgendwie funktioniert da gar nichts, von den Sachen, die ihr mir vorgeschlagen habt.

Es ist wohl eher so, dass du zu zeitig aufgibst. Der Weg oben funktioniert wie geschmiert:

Es ist mit Polynomdivision

$\begin{align*} \frac{x^3}{x^2+1} = \frac{x^3+x-x}{x^2+1} = x - \frac{x}{x^2+1} \end{align*}$

wo man direkt dessen Stammfunktion $\begin{align*} \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}\ln(x^2+1) \end{align*}$ ermitteln kann. Nun noch den Faktor $\begin{align*} \frac{1}{3} \end{align*}$ anfügen (den ich in dieser Nebenrechnung weggelassen habe), schon steht das Ergebnis vom Integralrechner da.

19.01.2015, 18:46

rasmus92

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okey ja du hast recht. smile

vielen danke

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