Substitutionsintegral durch Anpassen der Konstanten

18.01.2015, 23:43	JonDoe	Auf diesen Beitrag antworten »
Substitutionsintegral durch Anpassen der Konstanten Hallo allerseits! ich mache grad paar Übungen und bräuchte eure Meinung! Also ich habe zunächsteinmal paar Integrale gerechnet: $\begin{eqnarray} \int \frac{4}{4-x}dx \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int \frac{6}{(2x-1)³}dx \end{eqnarray}$ Beim ersten bin ich ganz einfach vorgegangen: Ich habe das Ding in die Form f'(x)/f(x) gebracht $\begin{eqnarray} 4\int \frac{-1}{4-x}dx \end{eqnarray}$ u = 4-1x => du/dx=-1 $\begin{eqnarray} \int \frac{4}{4-x}dx \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} -4ln(4-x)+C \end{eqnarray}$ Nun die zweite war etwas kniffliger, bin mir da nicht so sicher obs richtig ist... $\begin{eqnarray} \int \frac{6}{(2x-1)³}dx \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} \int \frac{32}{(2x-1)³}dx \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} 3\int \frac{2}{(2x-1)³}dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u = 2x-1 => du/2=dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \frac{6}{(2x-1)³}dx \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \int \frac{2}{u³}\frac{du}{2} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} 3\int \frac{1}{u³}du \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich den Nenner umgeformt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(2x-1)^{3} } = 2x-1^{-3} \end{eqnarray}$ Aus der Integrationsregel $\begin{eqnarray} \frac{x^n+1}{n+1} \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \frac{2x-1^{-2}}{-2} => -\frac{1}{2} \frac{1}{(2x-1)²} \end{eqnarray}$ Für u eingesetzt habe ich rausbekommen: $\begin{eqnarray} -\frac{3}{2}\frac{1}{(2x-1)²}+C \end{eqnarray}$ Ist das richtig? Denn jetzt habe ich eigentlich die richtige Frage zu diesem Thema: Kann man das auch so machen für die Funktion $\begin{eqnarray} x/(x^2+1)^2 \end{eqnarray}$ ohne* trigonometrischen Zusammenhang? Die gibt es hier bereits im Forum unter Analysis aber da ist was mit tan² und ganz ehrlich, die kann ich mir nicht merken oder habe die Zeit die herzuleiten
19.01.2015, 00:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, auch (2) ist richtig. Man kann dies immer so lange machen, solange sich nach der Ableitung der Substitution die Variable x bzw. dessen Terme kürzen und unter dem Integral nur noch u - Terme stehen! Daher kann auch in deiner letztgenannten Funktion die Substitution $\begin{eqnarray} u = x^2 + 1 \end{eqnarray}$ angewandt werden. Denn $\begin{eqnarray} \dd u = 2x \dd x \end{eqnarray}$ und letztendlich kürzt sich x und der Integrand wird zu $\begin{eqnarray} \frac 1 2 u^{-2} \end{eqnarray}$ mY+
19.01.2015, 09:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim ersten Integral müsste man strenger antworten $\begin{align} \int \frac{4}{4-x} ~ \dd x = -4\ln\|4-x\| + C \end{align}$ denn mangels anderweitiger Angaben ist diese Stammfunktion ja vielleicht auch für $\begin{align} x>4 \end{align}$ gesucht.

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