Submultiplikativität der Matrixnorm

19.01.2015, 05:57

_Jo_

Submultiplikativität der Matrixnorm

Meine Frage:
Hallo,

ich habe bei folgender Aufgabe irgendwie einen fatalen Denkfehler, könnt ihr mir helfen ihn zu finden?

Aufgabe:
Für eine Vektornorm $\begin{eqnarray*} \left\Vert \cdot \right\Vert \end{eqnarray*}$ auf einem Vektorraum V bezeichnet
$\begin{eqnarray*} \left\Vert A\right\Vert_M := sup \left\{\frac{\left\Vert Au \right\Vert}{\left\Vert u \right\Vert}: u\in V\backslash\{ 0\} \right\} \end{eqnarray*}$
die Matrixnorm.
Zeige: $\begin{eqnarray*} \left\Vert AB\right\Vert_M \leq \left\Vert A\right\Vert_M \cdot \left\Vert B\right\Vert_M \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Für zwei Mengen X und Y ist doch $\begin{eqnarray*} sup(XY) \geq sup(X)\cdot sup(Y) \end{eqnarray*}$ oder?

Damit forme ich so um:
$\begin{eqnarray*} & \left\Vert AB\right\Vert_M = sup \left\{\frac{\left\Vert ABu \right\Vert}{\left\Vert u \right\Vert}: u\in V\backslash\{ 0\} \right\} \\ &= sup\left\{\frac{\left\Vert ABu \right\Vert}{\left\Vert Bu \right\Vert}\cdot \frac{\left\Vert Bu \right\Vert}{\left\Vert u \right\Vert}: u\in V\backslash\{ 0\}, Bu \neq 0 \right\} \\ &\geq sup\left\{\frac{\left\Vert ABu \right\Vert}{\left\Vert Bu\right\Vert}: u\in V\backslash\{ 0\}, Bu \neq 0 \right\} \cdot sup\left\{\frac{\left\Vert Bu \right\Vert}{\left\Vert u\right\Vert}: u\in V\backslash\{ 0\}, Bu \neq 0 \right\} \\&= sup\left\{\frac{\left\Vert Av \right\Vert}{\left\Vert v \right\Vert}: v\in V\backslash\{ 0\} \right\} \cdot sup\left\{\frac{\left\Vert Bu \right\Vert}{\left\Vert u\right\Vert}: u\in V\backslash\{ 0\} \right\} = \left\Vert A\right\Vert _M \left\Vert B \right\Vert_M \end{eqnarray*}$

Nun habe ich statt $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ leider $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ . Was mache ich falsch?

Danke und beste Grüße
Jo

19.01.2015, 10:44

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Falls du mit $\begin{align*} XY := \left\{xy \bigm| x\in X,y\in Y\right\} \end{align*}$ meinen solltest:

Zunächst mal ist sogar $\begin{align*} \sup(XY) = \sup(X)\cdot \sup(Y) \end{align*}$ , sofern $\begin{align*} X,Y \end{align*}$ nichtleere Teilmengen der nichtnegativen reellen Zahlen sind.

Du brauchst hier im Beweis aber noch was ganz anderes, nämlich $\begin{align*} \sup(X)\leq \sup(X') \end{align*}$ , für $\begin{align*} X\subset X' \end{align*}$ :

19.01.2015, 12:35

_Jo_

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal_9000,

erstmal danke für deine Hilfe.

Mit deinem ersten Hinweis, kann ich aus dem $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ ein = machen, dann habe ich insgesamt Gleichheit.

Ich glaube ich stehe gerade auf dem Schlauch UND habe ein Brett vor dem Kopf, aber ich sehe einfach nicht, wo ich deinen zweiten Hinweis einbringen kann...

Die einzige Stelle an der sich meiner Meinung nach eine Menge erweitert, ist das vorletzte Gleichheitszeichen. Da ich aber nur nichtnegative reelle Zahlen in den Mengen habe und höchstens die Null hinzukommt, wird das Supremum über diese Menge nicht größer. (Ich gehe insgeheim davon aus, dass B nicht Nullmatrix ist.)

Kannst du mir nochmal helfen, was ich da übersehe?

Danke und beste Grüße
Jo

19.01.2015, 14:37

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von _Jo_
Ich glaube ich stehe gerade auf dem Schlauch UND habe ein Brett vor dem Kopf, aber ich sehe einfach nicht, wo ich deinen zweiten Hinweis einbringen kann...

Anscheinend nutzt du oben

$\begin{align*} \sup\left\{\frac{\left\Vert ABu \right\Vert}{\left\Vert Bu\right\Vert}: u\in V\backslash\{ 0\}, Bu \neq 0 \right\} \stackrel{?}{=} \sup\left\{\frac{\left\Vert Av \right\Vert}{\left\Vert v \right\Vert}: v\in V\backslash\{ 0\} \right\} \end{align*}$ .

Bist du dir da sicher?

Klar gibt es zu jedem solchen $\begin{align*} u \end{align*}$ ein $\begin{align*} v \end{align*}$ mit $\begin{align*} v=Bu \end{align*}$ , aber gilt wirklich auch die Umkehrung? Augenzwinkern

19.01.2015, 19:13

_Jo_

Auf diesen Beitrag antworten »

DANKE!

Das mit dem Schlauch und dem Brett stimmt wohl ;-)

Schönen Abend dir noch!

19.01.2015, 19:26

_Jo_

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine kleine Anfänger-Frage hätte ich da doch noch - kann ich diesen Thread jetzt irgendwie schließen oder als beantwortet markieren, wenn sich für mich alles geklärt hat?

Danke,
Jo

Neue Frage »

Antworten »

Submultiplikativität der Matrixnorm

Verwandte Themen