Doppelpost! 3te Wurzel Konvergenz,Newton Verfahren

19.01.2015, 10:43	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
3te Wurzel Konvergenz,Newton Verfahren Nach dem Beispiel in der Vorlesung wird das Newtonsche Verfahren zur Berechnung der 3.Wurzel von $\begin{eqnarray} a\in \mathbb{R}_{> 0} \end{eqnarray}$ durch die Iterationsvorschrift $\begin{eqnarray} x_{n+1}=\frac{1}{3} (2x_n+\frac{a}{x_n^2}) \end{eqnarray}$ mit beliebigen Anfangwert $\begin{eqnarray} x_0>0 \end{eqnarray}$ gegeben. Man zeige, dass auch die durch $\begin{eqnarray} x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n^2}) \end{eqnarray}$ rekursiv definierte Folge gegen $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{a} \end{eqnarray}$ konvergiert und vergleiche die Konvergenzgeschwindigkeit beider Verfahren. Hallo, Wenn die Folge $\begin{eqnarray} (x_n) \rightarrow g (n\rightarrow\infty) \end{eqnarray}$ konvergiert dann: $\begin{eqnarray} x_{n+1}=\frac{1}{3} (2x_n+\frac{a}{x_n^2}) \rightarrow g=\frac{1}{2}(g+\frac{a}{g^2}\iff\frac{1}{2}g=\frac{a}{2g^2}\iff g=\sqrt[3]{a} \end{eqnarray}$ Die Konvergenz zu zeigen hab ich so versucht, indem ich auf die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=(x^3-a)^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray}$ das Newton-Verfahren anwende. $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{2}{3} (x^3-a)^{\frac{-1}{3}}3x^2=\frac{2x^2}{\sqrt[3]{3-a}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n-\frac{x_n^3-a}{2x_n^2}=\frac{2x_n^3-x_n^3-a}{2x_n^2}=\frac{x_n^3-a}{2x_n^2}=\frac{1}{2}(x_n-\frac{a}{x_n^2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x)=2(-\frac{1}{3}(x^3-a)^{-\frac{4}{3}}3x^2x^2+(x^3-a)^{-\frac{1}{3}}2x=2(\frac{-x^4}{(\sqrt[3]{x^3-a})^4}+\frac{2x}{\sqrt[3]{x^3-a}}) \end{eqnarray}$ Die Funktion f ist zwar zweimal differenzierbar, aber welches Intervall muss ich mir anschauen für das Newton-Verfahren? ich brauche um die Konvergenz des Satzes im Forster anzuwenden, dass die Funktion hier konvex oder konkav ist.
19.01.2015, 10:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
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