"Konstante" aus Summe ziehen - Ungl. von Jensen

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Mokaah Auf diesen Beitrag antworten »
"Konstante" aus Summe ziehen - Ungl. von Jensen
Hallo,

Die Aufgabe lautet:

Für n pos. Zahlen ist das geometrische Mittel



und das arithmetische Mittel



Beweise folgende Ungleichung



Hinweis: Betrachte die Funktion

------------------------------------------

Log erfüllt also die Ungleichung von Jensen da sie konkav ist. Wobei

Wir haben:



Die Frage ist, wieso ich hier das y aus der Summe ziehen kann. Mir ist bewusst, dass ich eine konstante aus der Summe ziehen kann, hier jedoch ist Wir definieren also damit im Prinzip nur den Erhöhungsschritt der Konstanten pro Summierungsschritt, jedoch ist die Konstante ja bei jeder Summe anders. Wo ist meine Überlegung falsch?
Mokaah Auf diesen Beitrag antworten »

Hier noch das geo. Mittel

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mokaah
Die Frage ist, wieso ich hier das y aus der Summe ziehen kann.

Ich kann dir nicht folgen:

Wo wird hier was für ein y aus welcher Summe gezogen? verwirrt

Ich sehe nichts dergleichen, nur die Anwendung der Jensenschen Ungleichung auf die Logarithmusfunktion, und zwar mit gleichmäßigen Gewichten .
Mokaah Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich meinte ich lambda und nicht y...
Noch als korrektur:
Wir setzen Das heisst, dass

Also, die Jensen Ungleichung ist ja:



Da der Term 1/n ja lambda ist, lambda aber nach der Definition von der Jensen Ungleichung eine aufsummierung ist, sprich ein unkonstanter Koeffizient von den x_i ist, kann ich den doch nicht einfach rausziehen.

Im Prinzip lässt sich die Frage runterbrechen auf:

Ist ?

Ich seh schlicht nicht, wieso das 1/n vor der Summe sein darf. Ich meine, in der Jensen ungleichung ist es auch innerhalb der Summe, da es ja ein unkonstanter Faktor ist. Hoffe ich konnte mich nun klarer machen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

1) Zunächst dies, vielleicht klärt das ja einiges:

Wenn für , dann ist nicht , sondern .


2) Wieso soll ein Herausziehen des Faktors in



nicht erlaubt sein? Das ist das stinknormale Distributivgesetz (Ausklammern), das hier zur Anwendung kommt. unglücklich

Zitat:
Original von Mokaah
Ist ?

Selbstverständlich ist das i.a. falsch, das sieht man doch schon am Beispiel

.
Mokaah Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, lambda ist also immer 1. Gut, dass war mir nicht so klar da es ein wenig komisch geschrieben ist.

Mir ist auch 2) völlig bekannt. Ich weis, dass ich einen konstanten! Faktor rausziehen darf. MIr ist auch völlik klar, dass

Aber mein Problem besteht. Durch Anwendung der Ungleichung von Jensen implizieren wir:

entspricht bzw

Nun ist

Hier wird also kein konstanter Faktor rausgezogen, was ja nicht geht. Also muss ich irgendwo einen Denkfehler machen. Ich meine, jedes einzelne x_i braucht ja ein y_i. Das ist ein Produkt.


Wenn man halt das arit. Mittel anschaut, dann macht der Faktor 1/n völlig Sinn. Wenn man jetzt die Ungleichung von Jensen anwenden möchte, muss man es ja irgendwie in die Form bringen. Den Schritt sehe ich nicht. Ich sehe bloss: Man zieht das Lambda raus und dann bin ich halt einfach verwirrt.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe immer noch keine Ahnung, wo du ein Problem siehst. unglücklich

Also nochmal von vorn:

Zitat:
Die Jensensche Ungleichung für konkave Funktionen (wie hier z.B. ) sagt, dass



ist, wobei die nichtnegative reelle Zahlen mit sein müssen.

Ok, hier wird nun gewählt, dann ist die genannte Voraussetzung an die erfüllt, wir setzen ein:

.

So, nun dürfen wir in beiden Summen den (bzgl. Summationsindex ) konstanten Faktor herausziehen, hast du (mehr oder weniger) zugegeben begriffen zu haben:

.

Und nun für die Logarithmusfunktion:

.

Der Rest der Geschichte sind Logarithmengesetze, also , sowie .
Mokaah Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, gut.

Also, ich hab keine Mühe mit den Log-Gesetzten, dass passt schon alles. Auch ist es mit klar dass ich einen konstanten Faktor aus der Summe ziehen darf.

Ich seh aber jetzt wo ich falsch lag. Ich hab immer daran gedacht, die einzelnen lambdas können ja unterschiedlich sein, aber wenn man das ganze anschaut, merkt man, dass eigentlich jedes einzelne lambda gleich ist. Daher ist 1/n tatsächlich konstant und somit wäre mein Problem gelöst.

Hmm, blöder Fehler.

Ich dank dir! Wunderschönen Abend noch.
Mokaah Auf diesen Beitrag antworten »

Nachtrag: Mein Buch meinte in der Lösung halt auch, dass Lambda=1/n, nicht Lambda_i, sondenr Lambda, was für mich heisst: Alle lambda_i's aufsummiert ergibt 1/n.

Wie dem auch sei, danke.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mokaah
Alle lambda_i's aufsummiert ergibt 1/n.

Das macht überhaupt keinen Sinn, weil dann ja Jensen gar nicht anwendbar wäre. unglücklich
Mokaah Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das war wohl mein Hauptproblem.
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