Abbildungen linear, unabhängig

19.01.2015, 15:51	yxc	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungen linear, unabhängig Meine Frage: Hi, $\begin{eqnarray} a_{1}, a_{2} und a_{3} \end{eqnarray}$ sind Punkte in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Abbildungen $\begin{eqnarray} \mathbb R _ {2} [X] -> \mathbb R \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \phi _ {1} : P -> P(a_{1}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi _ {2} : P -> P(a_{2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi _ {3} : P -> P(a_{3}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \psi : P -> \int_{a_{1}}^{a_{3}} \! P(x) \, dx <br /> \end{eqnarray}$ 1) Sind diese Abbildungen linear? 2) Sind die Abbildungen $\begin{eqnarray} \phi _ {1}, \phi _ {2}, \phi _ {3} \end{eqnarray}$ linear unabhängig? 3) Sind die Abbildungen $\begin{eqnarray} \phi _ {1}, \phi _ {2}, \phi _ {3}, \psi \end{eqnarray}$ linear unabhängig? Meine Ideen: Ich weiß leider nicht, wie ich dies bei Polynomen zeigen soll. Aus meiner Sicht müssten die Abbildungen linear sein, wenn es sich um ein Polynom vom Grad 1 handelt. Unabhängig sind sie dann, wenn sie im Bezug aufeinander ungleich 0 sind. Für diese konkrete Aufgabe fehlt mir leider komplett ein Ansatz :/
19.01.2015, 16:02	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen linear, unabhängig Nehmen wir mal die Abbildung $\begin{eqnarray} \phi_1 \end{eqnarray}$ . Was muß diese erfüllen, wenn sie linear sein soll?
19.01.2015, 16:09	yxc	Auf diesen Beitrag antworten »
Laut Definition ist eine Abbildung dann linear, falls gilt: (i) f(a+b) = f(a) + f(b) für alle a,b $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ V (ii) f(ca) = cf(a) für c $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ K , a $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ V Allerdings hilft mir das für die Aufgabe irgendwie wenig weiter. Eigentlich muss sie vom Grad 1 sein, damit sie linear ist.
20.01.2015, 08:43	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir scheint, du verwechselst da etwas. $\begin{eqnarray} \phi_1 \end{eqnarray}$ ist kein Polynom. $\begin{eqnarray} \phi_1 \end{eqnarray}$ ist eine Abbildung, die jedem Polynom P (mit maximalem Grad 2) den Funktionswert P(a_1) zuordnet. Bezüglich deiner (korrekten) Definition einer linearen Abbildung sind also $\begin{eqnarray} f = \phi_1 \end{eqnarray}$ und a und b Poynome.

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