Differentialgleichung mit Integral

19.01.2015, 18:11

T-Dog

Differentialgleichung mit Integral

Meine Frage:
Hallo smile

Ich habe eine Funktion wird von null bis unendlich auf ganz R abgebildet.
Dazu soll ich folgede Differentialgleichung Lösen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x²\int_1^x \! (1-f'(a))/a³\, da \end{eqnarray*}$

Die Funktion ist für alle x>0 erfüllt.

Ich hoffe ihr könnt mir dabei grundsätzlich weiter helfen dieses Anfangswertproblem zu Lösen.
Ich hab nämlich keine Idee
Danke schon mal.

19.01.2015, 18:31

HAL 9000

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Offenbar ist $\begin{align*} f(1)=0 \end{align*}$ , das ist der Anfangswert. Dann durch $\begin{align*} x^2 \end{align*}$ teilen

$\begin{align*} \frac{f(x)}{x^2} = \int\limits_1^x \frac{1-f'(a)}{a^3} ~ \dd a \end{align*}$

und diese Gleichung nach $\begin{align*} x \end{align*}$ differenzieren, schon hat man die DGL in zugänglicheren Format.

19.01.2015, 21:36

T-Dog

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Oh danke

kann ich dann einfach auf beiden Seiten so ableiten:

$\begin{eqnarray*} (\frac{f(x)}{x²})'=\frac{1-f'(x)}{x³}+f'(1)-1 \end{eqnarray*}$ ?

dann kähm ich mit den grenzen auf

$\begin{eqnarray*} \frac{2xf(x)}{x^4}=\frac{f'(x)*x²}{x^4}+\frac{f'(x)}{x³}-f'(1)+1 \end{eqnarray*}$

aber ich weiß nicht ob man das so darf verwirrt

Anders weiß ich aber nicht wie ich das Integral auflösen soll.

grüße

20.01.2015, 11:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von T-Dog
Oh danke smile

kann ich dann einfach auf beiden Seiten so ableiten:

$\begin{eqnarray*} (\frac{f(x)}{x²})'=\frac{1-f'(x)}{x³}{\color{red}+f'(1)-1} \end{eqnarray*}$ ?

Was soll das für ein letzter Summand? Nein, es ist einfach

$\begin{align*} \left(\frac{f(x)}{x^2}\right)' = \frac{1-f'(x)}{x^2} \end{align*}$ ,

denn die untere Intervallgrenze 1 ist ja gar nicht von $\begin{align*} x \end{align*}$ abhängig, der zugehörige (Stammfunktions-)Term verschwindet beim Differenzieren! Links ausdifferenziert erhält man dann

$\begin{align*} \frac{f'(x)}{x^2} - \frac{2f(x)}{x^3} = \frac{1-f'(x)}{x^2} \end{align*}$ .

20.01.2015, 17:09

T-Dog

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Ok dann komme ich auf

$\begin{eqnarray*} -2*f(x)=x-2*x*f'(x) \end{eqnarray*}$

und von da dann auf

$\begin{eqnarray*} 0=x-2*f(x)-2*x*f'(x) \end{eqnarray*}$

dann löse ich alles und erhalte

$\begin{eqnarray*} f(x)= c*e^{x}-\frac{x}{2}- \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} f(1)= 0= c*e^{1}-\frac{1}{2}- \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

bekomme ich $\begin{eqnarray*} c=\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

dann ist meine gleichung

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{x-1}-\frac{x}{2}-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

stimmt das so in etwa?

20.01.2015, 20:33

HAL 9000

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Ich muss mich entschuldigen: Leider habe ich mich oben beim x-Exponent im Nenner rechts verschrieben - richtig ist

$\begin{align*} \frac{f'(x)}{x^2} - \frac{2f(x)}{x^3} = \frac{1-f'(x)}{x^3} \end{align*}$ .

Leider hast du es wohl für bare Münze genommen und deswegen nun was falsches raus.

21.01.2015, 00:46

T-Dog

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ok da hätte ich etwas kritischer sein müssen smile

dann bekomme ich
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{c}{(x+1)²}+\frac{x²}{2(x+1]²}+\frac{x}{(x+1)²} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} c=\frac {-3}{32} \end{eqnarray*}$

daraus gergibbt sich dann

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{-3}{32(x+1)²}+\frac{x²}{2(x+1]²}+\frac{x}{(x+1)²} \end{eqnarray*}$

passt das so?

21.01.2015, 10:55

HAL 9000

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Da bekomme ich was anderes raus - mal eine längere Rechnung (als "Wiedergutmachung" für den obigen Fauxpas): Multiplikation mit $\begin{align*} x^3 \end{align*}$ und Umstellung ergibt

$\begin{align*} (x+1)f'(x) - 2f(x) = 1 \end{align*}$

Offenbar besitzt diese inhomogene DGL die konstante partikuläre Lösung $\begin{align*} -\frac{1}{2} \end{align*}$ , sowie die allgemeine homogene Lösung $\begin{align*} C(x+1)^2 \end{align*}$ , also insgesamt $\begin{align*} f(x) = C(x+1)^2 - \frac{1}{2} \end{align*}$ .

Anfangswert $\begin{align*} f(1)=0 \end{align*}$ führt zu $\begin{align*} C=\frac{1}{8} \end{align*}$ und damit insgesamt zur Lösung

$\begin{align*} f(x) = \frac{(x+1)^2 - 4}{8} \end{align*}$ .

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