Theoreme Trigonometrischer Funktionen

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MatheFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
Theoreme Trigonometrischer Funktionen
Ich bin für eine Prüfung am lernen und komme irgendwie mit dem oben genannten Thema nicht klar.
Da sind Aufgaben wie: Beweisen sie, dass gilt:


oder



oder



Ich habe zu den Aufgaben lösungen, kann diese aber nicht wirklich nachvollziehen. Es wäre schön, wenn mir jemand erklären könnte, wie das Funktioniert. Ich habe mir schon diese ganzen Summensätze etc. rausgeschrieben, aber ich bekomme das Trotzdem nicht hin!
Wenn ihr wollt, kann ich auch die Aufgaben mit Lösungen hier hochladen.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Terme , , lassen sich ausdrücken, indem man im Additionstheorem nacheinander setzt y=x, y=2x, y=3x, y=4x. Weiterhin benötigt man die bekannte Formel
MatheFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das hilft mir leider auch nicht wirklich weiter.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du dich mit den Additionstheoremen und den Hinweisen von Ehos auseinandergesetzt und dich einmal an der Aufgabe versucht? unglücklich
MatheFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich habe mir sämtlich Additonstheoreme, Summensätze etc. auf ein Blatt geschrieben. Aber ich kriege das irgenwie nicht hin diese Aufgaben zu lösen ohne mir die Lösungen anzuschauen.
MatheFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mal die erste Aufgabe mit Lösung hochgeladen.

Warum kann man da nicht einfach sagen:

|



Warum da dieses ganze gerechne?
 
 
MatheFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nochmal ein wenig andere aufgaben gerechnet (goniometrische gleichung) und verstehe folgenden schritt nicht:




Wie kommt man von der ersten auf die 2. Zeile?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheFritzi
Wie kommt man von der ersten auf die 2. Zeile?


Beantworte die umgekehrte Frage, nämlich wie man von der zweiten Zeile auf die erste kommt. Dann siehst du es.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheFritzi
Warum kann man da nicht einfach sagen: [...] Warum da dieses ganze gerechne?

Keine dieser Gleichungen fällt vom Himmel. Tatsächlich kann man diese Additionstheoreme eigentlich alle aus einem einzigen Basistheorem wie etwa



zuzüglich einiger Symmetrieeigenschaften wie sowie der "Verschiebung" herleiten.

Wie man (*) nun nachweist, hängt ganz vom Zugang zu den trigonometrischen Funktionen ab (geometrisch <-> analytisch).


Im vorliegenden Fall nun war wohl das Kosinus-Additionstheorem bereits als bekannt vorausgesetzt, das Theorem für den Doppelwinkel aber noch nicht - daher das "ganze Gerechne". Augenzwinkern
MatheFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Uns ist theoretisch alles bekannt, weil das alles im Script steht!
Woher soll ich denn nun in der Prügfung wissen, dass ich es nicht so machen kann, wie ich es eben gemacht habe. Immerhin ist mir ja bekannt!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheFritzi
Uns ist theoretisch alles bekannt, weil das alles im Script steht!

Na dann kannst du ja so argumentieren - und wenn ihr das so vereinbart habt, solltest du damit Erfolg haben. Augenzwinkern
MatheFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Zitat:
Original von MatheFritzi
Wie kommt man von der ersten auf die 2. Zeile?


Beantworte die umgekehrte Frage, nämlich wie man von der zweiten Zeile auf die erste kommt. Dann siehst du es.


Ahh ja danke. Ist ja im prinpip das gleiche wie ne quadratische gleichung nur anstatt x halt tan(x)

Was ich aber immer noch nicht verstanden habe ist, wie ich das ganze angehen soll. Ich kann die Lösungen nachvollziehen, aber ich würde da nie im Leben selber drauf kommen.
z.B. bei der 3. Aufgabe:
Da wird in der Lösung angefangen mit und dann soweit umgeformt bis da steht und dann nach umgestellt.
Aber wie komme ich darauf, dass ich mit cos 3x anfangen soll? Wie geht man solche Aufgaben an?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheFritzi
Aber wie komme ich darauf, dass ich mit cos 3x anfangen soll? Wie geht man solche Aufgaben an?

Das Basis-Additionstheorem für zeigt, wie man den Kosinus von Summen auf -Terme der Summanden herunterbrechen kann. Es ist also naheliegend zu betrachten, und darauf die Additionstheoreme (in mehreren Schritten, da mehr als zwei Summanden) loszulassen.

Abgesehen davon: Das Betrachten ähnlicher Beispiele und Üben hilft mehr als Wehklagen a la "Wie soll ich denn darauf kommen?".
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die letzte zu untersuchende Beziehung ist lediglich die umgestelle Formel für cos(3x)

Sehr schön kann cos(3x) bzw. sin(3x) mittels der Moivre'schen Beziehung berechnet werden:



Auspotenzieren und Real- und Imaginärteile vergleichen ...

mY+
MatheFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von MatheFritzi
Aber wie komme ich darauf, dass ich mit cos 3x anfangen soll? Wie geht man solche Aufgaben an?

Das Basis-Additionstheorem für zeigt, wie man den Kosinus von Summen auf -Terme der Summanden herunterbrechen kann. Es ist also naheliegend zu betrachten, und darauf die Additionstheoreme (in mehreren Schritten, da mehr als zwei Summanden) loszulassen.

Abgesehen davon: Das Betrachten ähnlicher Beispiele und Üben hilft mehr als Wehklagen a la "Wie soll ich denn darauf kommen?".


Ich habe mich schon ne weile beschäftigt, bevor ich hier gepostet habe und es trotzdem nicht verstanden. Da dachte ich, dass es da vielleicht irgendwelche Tricks gibt. Könnt ihr mir denn eine Seite vorschlagen, wo solche aufgaben mit Lösungen zu finden sind? Die 3 Aufgaben, die ich habe, kenne ich mittlerweile auswendig...

Wie komme ich denn auf die Idee überhaupt auf die Idee bei der 3. Aufgabe mit cos(3x) =... anzufangen?

@mYthos
Das verstehe ich jetzt auch nicht so wirklich. Von Imaginären Zahlen wird zu dem Thema bei mir im Script kein Wort erwähnt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheFritzi
Wie komme ich denn auf die Idee überhaupt auf die Idee bei der 3. Aufgabe mit cos(3x) =... anzufangen?

Weil cos(3x) in der Formel vorkommt, kann es ja damit als Ausgangspunkt probieren: Wenn man mehrere solche Beispiele gerechnet hat, weiß man, dass man durch Anwendung der Additionstheoreme dann irgendeinen Zusammenhang zwischen cos(3x) einerseits, sowie cos(x),sin(x) (die dann auch ggfs. in Potenzform) bekommt - mutmaßlich auch cos³(x). Muss man halt ein bisschen probieren.

Solche Beweise sind nun mal keine stumpfsinnigen Rechnungen, deren Weg ganz sicher vorgezeichnet ist.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheFritzi
...
Das verstehe ich jetzt auch nicht so wirklich. Von Imaginären Zahlen wird zu dem Thema bei mir im Script kein Wort erwähnt

Das kann durchaus so sein, denn in der Trigonemetrie/Goniometrie arbeitet man meist mit den Additionstheoremen.
Es war nur so ein Hinweis für die, welche schon Kenntnisse bei den komplexen Zahlen haben ...
Da du in der Hochschule bist (?)*, wird dir dieses Thema bald nicht mehr fremd sein Big Laugh

(*) Das Thema könnte auch durchaus im Schulbereich beheimatet sein.

mY+
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@MatheFritzi
Ich habe in diesem Thread (bitte richtig SO schreiben!) deine neue Aufgabe abgetrennt, also den Thread geteilt, das neue Thema hier in Analysis lautet "Integral bestimmen".

Bitte unbedingt beachten: Neue Aufgabe/Frage --> Neues Thema

mY+
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