Konfidenzintervall mit T-Verteilung. welches "n" muss man nehmen?

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Whatsmathe Auf diesen Beitrag antworten »
Konfidenzintervall mit T-Verteilung. welches "n" muss man nehmen?
Meine Frage:
Hi

Folgende Voraussetzung laut Aufgabenstellung:
- Verteilung normalverteilt
- Standardabweichung ist unbekannt
- n < 30

Wenn ich das alles beachte, muss ich laut meiner Formelsammlung die T-Verteilung nehmen, um das Signifikanzniveau herauszufinden.
Bei der T-Verteilung muss ich "n-1" wählen.
Z.B. für 5% und n=10 wähle ich 2.2622 (n-1=9 und 5% für beide Seiten =0.975)

Die Formel für das Konfidenzintervall lautet:
Erwartungswert - TWert(n-1) * (geschätzte Stichprobenstandardabweichung / Wurzel aus "n")
Und natürlich noch für den positiven T-Wert.
Ich hoffe ihr könnt die "Formel" nachvollziehen.
Der Bruch (geschätzte Stichprobenstandardabweichung / Wurzel aus "n") bereitet mir Sorgen. Denn ich weiß nicht, welches "n" ich hier verwenden muss.
Laut unserer Übungsaufgaben wird mal n-1 und mal einfach nur das "n" aus der Aufgabenstellung direkt genommen. Ich sehe da keine Anhaltspunkte und Regel warum einmal so und einmal so gerechnet wird.

Es handelt sich bei den Aufgaben immer um die T-Verteilung.


Könnt ihr mir das erklären?



Meine Ideen:
Weiß ich nicht
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Für dieses "n" dort ist direkt der Stichprobenumfang einzusetzen, also nicht n-1 wie beim t-Quantil bzw. im Quotienten der Varianzberechnung

.


Für die Begründung muss man tief in die Theoriekiste greifen (schon eher Hochschulmathematik) - ich lege es mal dar, entscheide selbst, ob du dir das antun willst:



Bei einer normalverteilte Grundgesamtheit gelten für Mittelwert sowie empirische Varianz einer Stichprobe vom Umfang folgende Verteilungsgesetze:

(Chi-Quadrat-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden).

Außerdem sind beide voneinander unabhängig.


Nun weiß man über die t-Verteilung (d.h. hat es irgendwann mal ausgerechnet):

Zitat:
Sind und sowie beide unabhängig, so ist , also t-verteilt mit Freiheitsgraden.

Das wendet man hier an: Gemäß obiger Ausführungen gilt nach Standardisierung und weiter dann mit Hilfe dieser t-Verteilungs-Aussage

.

Aus letzterem ergibt sich dann (zusammen mit der Quantil-Symmetrieeigenschaft ) das Konfidenzintervall



Wie gesagt, das gilt zunächst nur für normalverteilte Grundgesamtheiten. Im Zusammenhang mit dem Zentralen Grenzwertsatz ist die Formel bei genügend großen Stichprobenumfang aber auch ohne diese Voraussetzung näherungsweise gültig als Konfidenzintervall für den Erwartungswert einer Grundgesamtheit mit endlicher Varianz.
 
 
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